Substitua s=j omega em todas as equações da questão 1, e obtenha a parte real e imaginária de T(j omega). Além disso, obtenha a forma polar (magnitude e fase) para cada equação.
T(s)=s^2+5 ss(s+1)(s+10)^2

Passo 1

Beleza! A questão diz: “Temos
T(s)=s^2+5ss,(s+1),(s+10)^2,,
substitua e ache a parte real e imaginária de . Depois, ache a forma polar (módulo e fase).
Isso é conteúdo de análise de circuitos/sistemas no domínio da frequência: basta lembrar como substituir , como manipular números complexos e como extrair parte real, imaginária, módulo e fase. Vamos precisar de álgebra de complexos (produto, soma, divisão usando conjugado) e de trigonometria básica para o ângulo.

Passo 2

Substituindo (jomega)^2 + 5,(jomega) = -omega^2 + j,5omega em cima, temos
Numerador:
D = [-omega^2 + jomega];times;[(100-omega^2) + j20omega]
Denominador, vamos em duas etapas:

  1. Então

Passo 3

Vamos multiplicar para achar (-omega^2 + jomega),(100-omega^2 + j20omega) .
D = alpha + jbeta com alpha = omega^4 -120omega^2, beta = 100omega -21omega^3


.
Separando real e imaginário:
Real
Imaginário
Logo

Passo 4

Agora temos
T(jomega) =-omega^2 + j5omegaalpha + jbeta
Para dividir complexos, usamos o conjugado:
T(jomega) =(-omega^2 + j5omega)(alpha - jbeta)alpha^2 + beta^2

Passo 5

A fórmula geral ReT(jomega) =(-omega^2),alpha + (5omega),betaalpha^2 + beta^2, dá:
a = ImT(jomega) =(5omega),alpha ;-;(-omega^2),betaalpha^2 + beta^2 =5omega,alpha + omega^2,betaalpha^2 + beta^2 , b = , c = , d = .
Então

Passo 6

Substituindo ReT(jomega) =-omega^2(omega^4-120omega^2)+5omega(100omega-21omega^3) (omega^4-120omega^2)^2 + (100omega-21omega^3)^2, e ImT(jomega) =5omega(omega^4-120omega^2)+omega^2(100omega-21omega^3) (omega^4-120omega^2)^2 + (100omega-21omega^3)^2 ficam:

Passo 7

Para o módulo e a fase vale:
|T(jomega)| = raiz(-omega^2)^2 + (5omega)^2 raizalpha^2 + beta^2 = |omega|raizomega^2+25raiz(omega^4-120omega^2)^2+(100omega-21omega^3)^2,
arg T(jomega) =underbracetan^-1!(5omega-omega^2)ângulo do num ;-; underbracetan^-1!(betaalpha)ângulo do den, ââ
ajustando quadrantes quando ou o numerador forem negativos.

Resposta

Parte real
ReT(jomega) =-omega^2(omega^4-120omega^2)+5omega(100omega-21omega^3) (omega^4-120omega^2)^2 + (100omega-21omega^3)^2
Parte imaginária
ImT(jomega) =5omega(omega^4-120omega^2)+omega^2(100omega-21omega^3) (omega^4-120omega^2)^2 + (100omega-21omega^3)^2
Módulo
|T(jomega)| = |omega|raizomega^2+25 raiz(omega^4-120omega^2)^2+(100omega-21omega^3)^2
Fase
arg T(jomega) =tan^-1!(5omega-omega^2) ;-;tan^-1!(100omega-21omega^3omega^4-120omega^2)
Pronto!

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