Substitua s=j omega em todas as equações da questão 1, e obtenha a parte real e imaginária de T(j omega). Além disso, obtenha a forma polar (magnitude e fase) para cada equação.
T(s)=20s^2+6 s+144

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem a função de transferência
T(s)=20s^2+6s+144
e o que o enunciado pede é substituir , depois achar a parte real e imaginária de e, por fim, escrever isso em forma polar (isto é, magnitude e fase).
Conteúdo: cálculo com números complexos (substituir , separar parte real e imaginária, e converter para forma polar). Vamos precisar saber operar com , juntar termos, racionalizar frações complexas e usar as fórmulas de módulo e argumento (fase).

Passo 2

Substituir T(jomega)=20(jomega)^2 +6(jomega)+144 e simplificar o denominador.
  1. Colocando T(jomega)=20-omega^2 + j,6omega +144 , ficamos com
  2. Como , isso dá
Agora o denominador é um número complexo qualquer: .

Passo 3

Racionalizar para separar parte real e imaginária.
Pra extrair real e imaginário de T(jomega) =20(underbrace144-omega^2a) + j(6omega) ;times; (144-omega^2) - j(6omega)(144-omega^2) - j(6omega) , a gente multiplica cima e baixo pelo conjugado (144-omega^2)^2 + (6omega)^2 :
20l((144-omega^2) - j,6omegar)
No denominador vira
porque .
No numerador fica

Passo 4

Extrair parte real e imaginária.
Então
T(jomega) =20(144-omega^2)(144-omega^2)^2+(6omega)^2 ;-; j,20cdot6omega(144-omega^2)^2+(6omega)^2
Logo:
  • Parte real: ReT(jomega) = 20,(144-omega^2)(144-omega^2)^2+36,omega^2
  • Parte imaginária: ImT(jomega) = -,120,omega(144-omega^2)^2+36,omega^2

Passo 5

Converter pra forma polar (módulo e fase).
  1. Módulo (ou magnitude) de |T(jomega)| = raizl[ReT(jomega)r]^2 + l[ImT(jomega)r]^2 = 20raiz(144-omega^2)^2 + (6omega)^2 : phi(omega) = arctan!l(ImT(jomega)ReT(jomega)r) = arctan!l(-120,omega20(144-omega^2)r) = arctan!l(-6,omega144-omega^2r) Aqui tiramos 20 em cima e reconhecemos a raiz do quadrado da soma no denominador.
  2. Fase : E, se você quiser, ajusta o quadrante dependendo do sinal de real e imag.

Resposta

Real:
ReT(jomega) = 20,(144-omega^2)(144-omega^2)^2+36,omega^2
Imaginária:
ImT(jomega) = -,120,omega(144-omega^2)^2+36,omega^2
Magnitude:
|T(jomega)| = 20raiz(144-omega^2)^2 + (6omega)^2
Fase:
phi(omega) = arctan!l(-6,omega144-omega^2r)

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