Obtenha a transformada de Fourier dos seguintes sinais através de integração e esboce o espectro de Fourier (somente magnitude),
  • ret(t / pi) e^-j 10 t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a Transformada de Fourier de
x(t)=ret!l(t/pir),e^-j10t
e depois esboçar o espectro de magnitude.
Conteúdo: Transformada de Fourier via definição por integração, uso da função retângulo e propriedades de exponencial. Vamos precisar saber que
Fx(t)=X(omega)=integral-infty^+inftyx(t),e^-jomega t,dt
e também a integral de uma exponencial complexa.

Passo 2

Primeiro, entenda a ret(t/π). Por definição
ret!l(t/Tr)= 1,&|t|á
Aqui x(t)= e^-j10t,&tin[-pi/2,pi/2], 0,&caso contrário , então para e zero fora. Logo
á

Passo 3

Aplicando a definição de Transformada de Fourier, para X(omega) =integral-infty^+inftyx(t),e^-jomega t,dt =integral-pi/2^pi/2e^-j10t,e^-jomega t,dt =integral-pi/2^pi/2e^-j(omega+10),t,dt qualquer:

Passo 4

A integral de integral-a^ae^-jOmega tdt =[e^-jOmega t-jOmega]-a^a =e^-jOmega a-e^+jOmega a-jOmega =2sin(Omega a)Omega é
X(omega) = 2sinl((omega+10),tfracpi2r)omega+10
Aqui e . Então

Passo 5

Dá pra escrever em termos de sinc se quiser: usando ,

Passo 6

O espectro de magnitude é
|X(omega)| =l|2sinl((omega+10)tfracpi2r)omega+10r|
Repare que há um pico em de amplitude
,
e zeros onde , ou seja , .
O esboço é um sinc centrado em , cruzando zero em

Resposta

boxed X(omega) =2sin!l((omega+10)tfracpi2r)omega+10, |X(omega)|=l|tfrac2sinl((omega+10)tfracpi2r)omega+10r|
Esboço: sinc de pico em , zeros em .

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