Obtenha a transformada de Fourier dos seguintes sinais através de integração e esboce o espectro de Fourier (somente magnitude),
  • 6 e^-6 pi t u(t)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar a Transformada de Fourier de
x(t) = 6,e^-6pi t,u(t)
usando integração direta e, no final, fazer um esboço do espectro de magnitude.
Conteúdo envolvido: definição de Transformada de Fourier, integral de exponencial e propriedade da função degrau X(omega)=integral-infty^+inftyx(t),e^-jomega t,dt . Vamos precisar lembrar que
integral0^inftye^-a t,dt=1a(Rea>0)
e usar a fórmula

Passo 2

Primeiro, escrevemos a definição de Transformada de Fourier aplicando que X(omega) =integral-infty^+infty6,e^-6pi tu(t),e^-jomega t,dt =integral0^infty6,e^-6pi t,e^-jomega t,dt zera tudo para :

Passo 3

Reunindo os exponenciais dentro da integral:
X(omega) =6integral0^inftye^-t,(6pi + jomega),dt
Como integral0^inftye^-a t,dt=1a , a integral converge e vale
X(omega) =6cdot16pi + jomega =66pi + j,omega
Logo,

Passo 4

Agora vamos extrair a magnitude desse resultado. Para um número complexo |a+j b|=raiza^2+b^2 ,
|X(omega)| =6raiz(6pi)^2+omega^2
No nosso caso |X(0)|=66pi=1pi, e , então
Isso é uma função par (simétrica em ), que atinge o valor máximo em :
e depois decai em forma de “cauda” proporcional a para grande.

Resposta

Transformada de Fourier:
boxedX(omega)=66pi + j,omega
Espectro de magnitude:
boxed|X(omega)|=6raiz(6pi)^2+omega^2
Esboço (só magnitude): curva simétrica em , valor máximo em e decaindo como nas bandas altas.

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