Obtenha a transformada de Fourier dos seguintes sinais através de integração e esboce o espectro de Fourier (somente magnitude),
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Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente achar a Transformada de Fourier de
usando integração direta e, no final, fazer um esboço do espectro de magnitude.
Conteúdo envolvido: definição de Transformada de Fourier, integral de exponencial e propriedade da função degrau . Vamos precisar lembrar que
Conteúdo envolvido: definição de Transformada de Fourier, integral de exponencial e propriedade da função degrau
e usar a fórmula
Passo 2
Primeiro, escrevemos a definição de Transformada de Fourier aplicando que
zera tudo para
:
Passo 3
Reunindo os exponenciais dentro da integral:
Como
, a integral converge e vale
Logo,
Passo 4
Agora vamos extrair a magnitude desse resultado. Para um número complexo
,
No nosso caso
e
, então
Isso é uma função par (simétrica em
), que atinge o valor máximo em
:
e depois decai em forma de “cauda” proporcional a
para
grande.
Resposta
Transformada de Fourier:
Espectro de magnitude:
Esboço (só magnitude): curva simétrica em
, valor máximo
em
e decaindo como
nas bandas altas.