Obtenha a transformada de Fourier dos seguintes sinais através de integração e esboce o espectro de Fourier (somente magnitude),
2 ret(t / pi)

Passo 1

Beleza, o exercício pede a Transformada de Fourier do sinal
X(omega);=;integral-infty^inftyx(t),e^-jomega t,dt .
Isso cai na matéria “Transformada de Fourier de sinais em tempo contínuo” e a gente vai usar:
  1. A definição
  1. A forma da função retangular e a técnica de integrar exponenciais.

Passo 2

Primeiro, lembra que
retl(t/pir)= 1, & l|t/pir|<=tfrac12 [6pt] 0, & caso contrário á
Isto é, X(omega) =integral-infty^infty2,retl(t/pir),e^-jomega t,dt =integral-pi/2^pi/22,e^-jomega t,dt só quando .
Então o nosso sinal vale em e zero fora.
Pela definição,

Passo 3

Vamos calcular
integral-pi/2^pi/2e^-jomega t,dt =[e^-jomega t-jomega]-pi/2^pi/2 =e^-jomega(pi/2)-e^,jomega(pi/2)-jomega .
Usando
integral-pi/2^pi/2e^-jomega t,dt =-2jsinl(omegapi/2r)-jomega =2sinl(omegapi/2r)omega ,
temos
X(omega) =2;times;2sin(omegapi/2)omega =4,sin!l(tfracomegapi2r)omega
Reconhecendo que , dá
Multiplica pelo fator 2 do sinal e pronto:

Passo 4

Agora, o espectro de magnitude é
|X(omega)| =l|4,sin!l(tfracomegapi2r)omegar|
Algumas características:
  • Pico em :
  • Zeros em (exceto ), ou seja .
  • É a clássica forma de “sinc” (pulso retangular vira sinc no domínio da frequência), decaindo de cada lóbulo.
Você consegue esboçar o gráfico mostrando o main lobe de altura entre e e lobos laterais que vão diminuindo.

Resposta

boxed X(omega) =4,sin!l(tfracomegapi2r)omega Longrightarrow |X(omega)| =l|4,tfracsin(tfracomegapi2)omegar|

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