Obtenha a transformada de Fourier dos seguintes sinais através de integração e esboce o espectro de Fourier (somente magnitude),
5 cos omegac t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede a transformada de Fourier de
x(t)=5cos(omegac t)
e um esboço do espectro de magnitude. Isso é conteúdo de sinais e sistemas, mais especificamente transformada de Fourier contínua. Para resolver a parada, a gente vai precisar:
- Definição da transformada de Fourier
- A forma de decompor cosseno em exponenciais complexas
- A propriedade que diz que a transformada de e^jomega0 t é 2pide

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da transformada de Fourier:
X(omega)=integral-infty^inftyx(t),e^-jomega t,dt,
E também a “mágica” de que
integral-infty^inftye^j(omega0-omega)tdt=2pi,de

Passo 3

Como o cosseno é um mix de duas exponenciais complexas, escrevemos:
cos(omegac t)=e^jomegac t+e^-jomegac t2,
Então
$$x(t)=5\cos(\omega_c t)
=\frac{5}{2}e^{j\omega_c t}+\frac{5}{2}e^{-j\omega_c t},. $$

Passo 4

Agora aplicamos a transformada linear em cada termo:
  • Para 52e^jomegac t a gente tem Ftfrac52e^jomegac t =52,2pi,de
  • Para 52e^-jomegac t a gente tem Ftfrac52e^-jomegac t =52,2pi,de
Somando tudo,
X(omega)=5pi,de

Resposta

Transformada de Fourier:
boxedX(omega)=5pil[de
Espectro de magnitude: duas linhas verticais (impulsos) em omega=+,omegac e omega=-,omegac, cada uma com “altura” 5pi,

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