Obtenha a transformada de Fourier dos seguintes sinais através de integração e esboce o espectro de Fourier (somente magnitude),
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que a questão pede e o que a gente vai usar.
Enunciado resumido: o sinal é
Enunciado resumido: o sinal é
Repare que
, então na prática é
Conteúdo da matéria: transformada de Fourier no par
além das propriedades:
- Transformada do delta
. - Identidade do cosseno em exponenciais complexas.
- Linearidade da transformada.
Passo 2
Transformada do primeiro termo
.
A propriedade central é
A propriedade central é
Então
Passo 3
Transformada do segundo termo
.
Primeiro lembramos a identidade
Primeiro lembramos a identidade
Logo
Cada integral é da forma
Então
Então
Passo 4
Agora, pela linearidade da transformada, somamos os dois pedaços:
Passo 5
Esboço do espectro de magnitude
:
- Há uma “parte contínua” constante igual a 7 para todo
. - Tem dois picos (impulsos) em
e em , cada um de amplitude .
Em desenho rápido seria:
– Linha horizontal em 7.
– Dois impulsos verticais de altura em
.
– Linha horizontal em 7.
– Dois impulsos verticais de altura
Resposta
e o espectro de magnitude é uma reta em 7 mais dois impulsos de altura
em
.