Obtenha a transformada de Fourier dos seguintes sinais através de integração e esboce o espectro de Fourier (somente magnitude),
7 de

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que a questão pede e o que a gente vai usar.
Enunciado resumido: o sinal é
x(t)=7,de
Repare que x(t)=7,de, então na prática é
X(omega)=integral-infty^infty x(t),e^-jomega t,dt,
Conteúdo da matéria: transformada de Fourier no par
além das propriedades:
  • Transformada do delta .
  • Identidade do cosseno em exponenciais complexas.
  • Linearidade da transformada.

Passo 2

Transformada do primeiro termo integral-infty^inftyde.
A propriedade central é
X1(omega) =integral-infty^infty7,de
Então

Passo 3

Transformada do segundo termo cos(omegac t) =e^jomegac t+e^-jomegac t2 .
Primeiro lembramos a identidade
X2(omega) =integral-infty^inftycos(omegac t),e^-jomega t,dt =12integral e^jomegac te^-jomega tdt +12integral e^-jomegac te^-jomega tdt
Logo
X2(omega) =12l[2pi,de
Cada integral é da forma

Então

Passo 4

Agora, pela linearidade da transformada, somamos os dois pedaços:
X(omega)=X1(omega)+X2(omega) =7 ;+;pi,de

Passo 5

Esboço do espectro de magnitude :
  • Há uma “parte contínua” constante igual a 7 para todo .
  • Tem dois picos (impulsos) em e em , cada um de amplitude .
Em desenho rápido seria:
– Linha horizontal em 7.
– Dois impulsos verticais de altura em .

Resposta

boxed X(omega)=7 ;+;pi,de
e o espectro de magnitude é uma reta em 7 mais dois impulsos de altura em .

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