Obtenha a transformada de Laplace inversa das seguintes funções.
f(s)=3 s+2(s+1)(s+2)^2.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
hat f(s)=3s+2(s+1)(s+2)^2
Conteúdo: transformada de Laplace inversa e frações parciais.
O que vamos usar:
  • Linearidade da transformada inversa.
  • Fatos prontos:
    ,
    .
  • Decomposição em frações parciais para quebrar em termos desses casos.

Passo 2

Vamos escrever
3s+2(s+1)(s+2)^2=As+1+Bs+2+C(s+2)^2
Multiplicando tudo por 3s+2 = A,(s+2)^2 ;+; B,(s+1)(s+2);+;C,(s+1) , dá
3s+2(s+1)(s+2)^2 =-1s+1+1s+2+4(s+2)^2
Expande e junta coeficientes de :
  • Coef. de : .
  • Coef. de : .
  • Termo constante: .
Da primeira equação .
Substituindo nas outras:
  1. .
  2. .
    Colocando na 2): .
    Então e .
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Passo 3

Agora achamos L^-1!-tfrac1s+1=-e^-t, L^-1!tfrac1s+2=e^-2t, L^-1!tfrac4(s+2)^2=4,t,e^-2t usando linearidade e as regras prontas:
f(t)=-e^-t+e^-2t+4,t,e^-2t
Somando tudo:

Resposta

boxed,f(t)=-e^-t+e^-2t+4t,e^-2t,

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