Determine a transformada de Laplace e o seu respectivo domínio para as seguintes funções, sabendo-se que
para todo
e
.
.
Passo 1
Beleza, o que a questão pede é: “Calcular a transformada de Laplace de
e dizer pra quais valores de
essa integral converge.”
Conteúdo: Transformada de Laplace, propriedade de linearidade, fórmula de adição de ângulo e as transformadas conhecidas de e
. Vamos usar a definição
Conteúdo: Transformada de Laplace, propriedade de linearidade, fórmula de adição de ângulo e as transformadas conhecidas de
e não pressupor que você já saiba decorar nada sem ver o porquê.
Passo 2
Primeiro escrevemos a transformada na definição, trocando
por
:
Antes de sair integralizando direto, vamos explorar linearidade e uma identidade trigonométrica pra simplificar.
Passo 3
Usamos a fórmula de adição de ângulo:
Isso é útil porque já conhecemos as transformadas de
e
.
Passo 4
Pela linearidade da Laplace, dá pra separar:
Passo 5
Agora usamos as fórmulas básicas (válidas para
, condição que garante convergência da integral):
Passo 6
Substituindo na expressão do passo anterior: