Determine a transformada de Laplace e o seu respectivo domínio para as seguintes funções, sabendo-se que f(t)=0 para todo t<0 e a in R.
f(t)=cos (t+a).

Passo 1

Beleza, o que a questão pede é: “Calcular a transformada de Laplace de
f(t)=cos(t+a)(t>=0,;f(t)=0 para t<0)
e dizer pra quais valores de Lf(t)(s)=integral0^inftye^-stf(t),dt essa integral converge.”
Conteúdo: Transformada de Laplace, propriedade de linearidade, fórmula de adição de ângulo e as transformadas conhecidas de e . Vamos usar a definição
e não pressupor que você já saiba decorar nada sem ver o porquê.

Passo 2

Primeiro escrevemos a transformada na definição, trocando Lcos(t+a)(s) =integral0^inftye^-stcos(t+a),dt por :
Antes de sair integralizando direto, vamos explorar linearidade e uma identidade trigonométrica pra simplificar.

Passo 3

Usamos a fórmula de adição de ângulo:
cos(t+a)=cos tcos a-sin tsin a
Isso é útil porque já conhecemos as transformadas de e .

Passo 4

Pela linearidade da Laplace, dá pra separar:
Lcos(t+a) =cos a, Lcos t ;-;sin a, Lsin t

Passo 5

Agora usamos as fórmulas básicas (válidas para Lcos t(s)=ss^2+1, Lsin t(s)=1s^2+1 , condição que garante convergência da integral):

Passo 6

Substituindo na expressão do passo anterior:
Lcos(t+a)(s) =cos acdotss^2+1;-;sin acdot1s^2+1 =scos a-sin as^2+1

Resposta

boxed Lcos(t+a)(s)=scos a-sin as^2+1, para Re(s)>0

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