Obtenha a transformada de Laplace inversa das seguintes funções.
.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente achar a transformada inversa de Laplace da função
Estamos na parte de transformadas de Laplace e, mais especificamente, queremos inverter uma função em
pra voltar ao domínio do tempo
.
Para isso, a gente vai usar:
Para isso, a gente vai usar:
- Decomposição em frações parciais;
- Tabelas básicas de transformada inversa, tipo
,
, etc.
Passo 2
Primeiro, escrevemos uma decomposição em frações parciais:
Isso serve pra separar em pedacinhos mais “amigáveis” de inverter.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados por
e igualamos:
Agora, usamos valores de
especiais e/ou comparamos coeficientes:
- Para
:
- Para
:
- Comparando coeficientes gerais (ou seja, agrupando potências de
), obtemos: - coef. de
: ⇒ ⇒ . - coef. de
: ⇒ ⇒ .
- coef. de
Logo,
Passo 4
Agora é moleza inverter cada fração:
Resposta
Somando tudo, a transformada de Laplace inversa é