Obtenha a transformada de Laplace inversa das seguintes funções.
f(s)=3 s+2(s+1)(s+2)^3.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente achar a transformada inversa de Laplace da função
hat f(s) = 3s+2(s+1),(s+2)^3
Estamos na parte de transformadas de Laplace e, mais especificamente, queremos inverter uma função em pra voltar ao domínio do tempo .
Para isso, a gente vai usar:
  1. Decomposição em frações parciais;
  2. Tabelas básicas de transformada inversa, tipo
    ,
    , etc.

Passo 2

Primeiro, escrevemos uma decomposição em frações parciais:
3s+2(s+1)(s+2)^3 = As+1 + Bs+2 + C(s+2)^2 + D(s+2)^3
Isso serve pra separar em pedacinhos mais “amigáveis” de inverter.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por 3s+2 = A,(s+2)^3 + B,(s+1)(s+2)^2 + C,(s+1)(s+2) + D,(s+1) e igualamos:
3s+2(s+1)(s+2)^3 = -1s+1 + 1s+2 + 1(s+2)^2 + 4(s+2)^3
Agora, usamos valores de especiais e/ou comparamos coeficientes:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Comparando coeficientes gerais (ou seja, agrupando potências de ), obtemos:
    • coef. de : .
    • coef. de : .
Logo,

Passo 4

Agora é moleza inverter cada fração:

Resposta

Somando tudo, a transformada de Laplace inversa é
f(t) = -e^-t ;+; e^-2t ;+; t,e^-2t ;+; 2,t^2,e^-2t

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