Determine a transformada de Laplace e o seu respectivo domínio para as seguintes funções, sabendo-se que
para todo
e
.
.
Passo 1
Então, o que o enunciado tá pedindo? A gente tem a função
queremos a transformada de Laplace
e o domínio onde isso converge. O conteúdo envolvido é transformada de Laplace básica e uma propriedade muito útil: a transformada de
.
Passo 2
Primeiro, lembrando a transformada de Laplace de
:
válido para
. Vamos chamar esse resultado de
Passo 3
Agora, a propriedade de derivadas na variável
:
No nosso caso,
e
, então
Passo 4
Vamos calcular passo-a-passo as derivadas:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
Passo 5
Para essa derivada, usamos o produto
:
Multiplicando por
,
Passo 6
Pronto, a transformada tá encontrada. Falta só o domínio. Como surgiu de
, continua valendo
.