Determine a transformada de Laplace e o seu respectivo domínio para as seguintes funções, sabendo-se que f(t)=0 para todo t<0 e a in R.
f(t)=t^2 sen(a t).

Passo 1

Então, o que o enunciado tá pedindo? A gente tem a função
f(t)=t^2sin(a,t)(t>=0),
queremos a transformada de Laplace e o domínio onde isso converge. O conteúdo envolvido é transformada de Laplace básica e uma propriedade muito útil: a transformada de .

Passo 2

Primeiro, lembrando a transformada de Laplace de Lsin(a,t)(p) =integral0^infty e^-p tsin(a,t),dt =ap^2+a^2, :
F(p)=ap^2+a^2
válido para . Vamos chamar esse resultado de

Passo 3

Agora, a propriedade de derivadas na variável Lt^n,f(t)(p) =(-1)^nd^ndp^nl[Lf(t)(p)r] :
Lt^2sin(a,t)(p) = (+1),d^2dp^2l[ap^2+a^2r]
No nosso caso, e , então

Passo 4

Vamos calcular passo-a-passo as derivadas:
  1. Primeira derivada:
ddpl(ap^2+a^2r) =acdotddp(p^2+a^2)^-1 =-acdot2p(p^2+a^2)^2 =-2ap(p^2+a^2)^2
  1. Segunda derivada:
ddpl(-2ap(p^2+a^2)^2r) =-2addpl(p,(p^2+a^2)^-2r)

Passo 5

Para essa derivada, usamos o produto ddpl[p,(p^2+a^2)^-2r] =(p^2+a^2)^-2 + pcdotl(-2r)(p^2+a^2)^-3cdot 2p =1(p^2+a^2)^2-4p^2(p^2+a^2)^3 :
d^2dp^2l[ap^2+a^2r] =-2al[1(p^2+a^2)^2-4p^2(p^2+a^2)^3r] =2a,(3p^2 - a^2)(p^2+a^2)^3
Multiplicando por ,

Passo 6

Pronto, a transformada tá encontrada. Falta só o domínio. Como surgiu de , continua valendo .

Resposta

boxed Lt^2sin(a,t)(p) =2a,(3p^2 - a^2)(p^2+a^2)^3, domínio: Re(p)>0 í

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