Usando a transformada de Laplace, determine a solução geral da equação íntegrodiferencial
com a condição inicial
.
Passo 1
Beleza! A questão pede pra gente resolver a equação íntegrodiferencial
usando a transformada de Laplace. Isso cai em: teoria de Laplace (pra derivadas e integrais), álgebra de funções de
1. Definição de
2. Propriedade
3. Propriedade
A partir do próximo passo a gente faz a parada na prática.
Passo 2
Aplico a transformada de Laplace em cada termo da equação:
-
. -
. -
. -
.
Então a equação vira
Passo 3
Agora a gente junta tudo que tem
de um lado:
Multiplica ambos os lados por
pra ficar mais simples:
Fatorando
:
Percebe que
. Logo
Passo 4
Fazemos frações parciais para inverter a Laplace:
Multiplicando pelos denominadores:
Igualando coeficientes:
Então
Passo 5
Pra voltar ao tempo, uso a tabela de Laplace inversa:
Logo