Usando a transformada de Laplace, determine a solução geral da equação íntegrodiferencial
doty(t)+3 y(t)+2 integral0^t y(tau) d tau=7
com a condição inicial y(0)=5.

Passo 1

Beleza! A questão pede pra gente resolver a equação íntegrodiferencial
dot y(t)+3,y(t)+2integral0^ty(tau), dtau=7,, y(0)=5
usando a transformada de Laplace. Isso cai em: teoria de Laplace (pra derivadas e integrais), álgebra de funções de e frações parciais. Vamos precisar:
1. Definição de .
2. Propriedade .
3. Propriedade .
A partir do próximo passo a gente faz a parada na prática.

Passo 2

Aplico a transformada de Laplace em cada termo da equação:
  • (sY(s)-5)+3Y(s)+2sY(s)=7s, .
  • .
  • .
  • .
    Então a equação vira

Passo 3

Agora a gente junta tudo que tem sY(s)+3Y(s)+2sY(s)=7s+5 de um lado:
s^2Y(s)+3sY(s)+2Y(s)=7+5s
Multiplica ambos os lados por Y(s)l(s^2+3s+2r)=5s+7 pra ficar mais simples:
Y(s)=5s+7(s+1)(s+2)
Fatorando :
Percebe que . Logo

Passo 4

Fazemos frações parciais para inverter a Laplace:
5s+7(s+1)(s+2)=As+1+Bs+2
Multiplicando pelos denominadores:
5s+7=A(s+2)+B(s+1)=As+2A+Bs+B =(A+B)s+(2A+B)
Igualando coeficientes:
A+B=5, 2A+B=7 Rightarrow A=2,;B=3
Então
Y(s)=2s+1+3s+2

Passo 5

Pra voltar ao tempo, uso a tabela de Laplace inversa:
L^-1tfrac1s+a=e^-a t
Logo
y(t)=2,e^-1cdot t+3,e^-2cdot t

Resposta

boxedy(t)=2e^-t+3e^-2t

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