Obtenha a transformada mathscrZ dos sinais e sequências a seguir, para k in N :
(a) x(k)=k^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a transformada da sequência para . Aqui, estamos trabalhando com Transformada Z, que é uma ferramenta usada em áreas como processamento de sinais e controle. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição da Transformada Z e como aplicá-la a sequências específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da Transformada Z. A Transformada Z de uma sequência mathscrZx(k) = X(z) = sumk=0^infty x(k) z^-k é dada por:
X(z) = sumk=0^infty k^2 z^-k
No nosso caso, . Então, substituímos na fórmula:

Passo 3

Agora, precisamos calcular essa soma infinita. Sabemos que somas envolvendo potências de sumk=0^infty z^-k = 11 - z^-1 para |z| > 1 vezes podem ser resolvidas usando derivadas da série geométrica básica. A série geométrica é:

Passo 4

Para encontrar sumk=0^infty k z^-k = z^-1(1 - z^-1)^2 , podemos derivar a série geométrica em relação a :

Passo 5

De forma semelhante, para sumk=0^infty k^2 z^-k = z^-1 (1 + z^-1)(1 - z^-1)^3 , derivamos novamente:

Passo 6

Substituindo tudo de volta na expressão para X(z) = z^-1 (1 + z^-1)(1 - z^-1)^3 , temos:
X(z) = z^2 + z(z - 1)^3
Podemos simplificar mais, multiplicando numerador e denominador por :

Resposta

A transformada X(z) = z^2 + z(z - 1)^3 da sequência é:

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