Obtenha a transformada
dos sinais e sequências a seguir, para
:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a transformada
da sequência
para
. Aqui, estamos trabalhando com Transformada Z, que é uma ferramenta usada em áreas como processamento de sinais e controle. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição da Transformada Z e como aplicá-la a sequências específicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da Transformada Z. A Transformada Z de uma sequência
é dada por:
No nosso caso,
. Então, substituímos na fórmula:
Passo 3
Agora, precisamos calcular essa soma infinita. Sabemos que somas envolvendo potências de
vezes
podem ser resolvidas usando derivadas da série geométrica básica. A série geométrica é:
Passo 4
Para encontrar
, podemos derivar a série geométrica em relação a
:
Passo 5
De forma semelhante, para
, derivamos novamente:
Passo 6
Substituindo tudo de volta na expressão para
, temos:
Podemos simplificar mais, multiplicando numerador e denominador por
:
Resposta
A transformada
da sequência
é: