Obtenha as transformadas de Laplace inversa das funções a seguir:
Z(s)=\frac{5}{s(s+1)\left(s^{2}+6 s+10\right)}\

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
Z(s)=\frac{5}{s\,(s+1)\,(s^2+6s+10)}.
O conteúdo é decomposição em frações parciais e uso de tabelas de transformadas inversas da Laplace.

Passo 2

Assumimos a decomposição em frações parciais da forma
\frac{5}{s\,(s+1)\,(s^2+6s+10)} =\frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}+\frac{Cs+D}{s^2+6s+10}.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por s\,(s+1)\,(s^2+6s+10) e usando s=0 e s=-1:
para s=0:
5=A\cdot1\cdot10\quad\Longrightarrow\quad A=\frac12.
para s=-1:
5=B\cdot(-1)\bigl[(-1)^2+6(-1)+10\bigr]=B\cdot(-1)\cdot5\quad\Longrightarrow\quad B=-1.

Passo 4

Com A=\tfrac12 e B=-1, escrevemos
5=\tfrac12(s+1)(s^2+6s+10)\;-\,s(s^2+6s+10)\;+\;(Cs+D)\,s\,(s+1).
Expandindo e igualando coeficientes de s^3,s^2,s a zero obtemos
C=\frac12,\quad D=2.

Passo 5

Reescrevemos o termo quadrático completando o quadrado:
\frac{Cs+D}{s^2+6s+10} =\frac{\tfrac12s+2}{(s+3)^2+1} =\frac{\tfrac12(s+3)+\tfrac12}{(s+3)^2+1}.
Assim
Z(s)=\frac12\frac1s\;-\,\frac1{s+1} \;+\;\frac12\frac{s+3}{(s+3)^2+1} \;+\;\frac12\frac1{(s+3)^2+1}.

Passo 6

Usando as transformadas inversas \mathcal L^{-1}\{1/s\}=1, \mathcal L^{-1}\{1/(s+1)\}=e^{-t}, \mathcal L^{-1}\{(s+3)/[(s+3)^2+1]\}=e^{-3t}\cos t, \mathcal L^{-1}\{1/[(s+3)^2+1]\}=e^{-3t}\sin t,
vemos que
z(t) =\frac12\cdot1 \;-\;e^{-t} \;+\;\frac12\,e^{-3t}\cos t \;+\;\frac12\,e^{-3t}\sin t.

Resposta

z(t) =\frac12 - e^{-t} + \frac12\,e^{-3t}\bigl(\cos t + \sin t\bigr).

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