Obtenha as transformadas de Laplace inversa das funções a seguir:
Y(s)=\frac{2}{s(s+1)^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
Y(s)=\frac{2}{s\,(s+1)^2}.
O conteúdo principal aqui é a técnica de frações parciais para decompor Y(s) em termos cujas inversas sejam conhecidas na tabela de transformadas.

Passo 2

Assumimos a decomposição em frações parciais
\frac{2}{s\,(s+1)^2} =\frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}+\frac{C}{(s+1)^2}.
Multiplicando ambos os lados por s\,(s+1)^2, obtemos
2=A\,(s+1)^2+B\,s\,(s+1)+C\,s.
Expandindo e juntando termos em s^2, s e termo constante:
2=(A+B)\,s^2+(2A+B+C)\,s + A.
Como o polinômio à direita deve ser constante 2, igualamos coeficientes:
\begin{cases} A + B = 0,\\\\ 2A + B + C = 0,\\\ A = 2. \end{cases}

Passo 3

Resolvendo o sistema:
A=2,\quad B=-2,\quad C=-2.
Logo,
\frac{2}{s\,(s+1)^2} =\frac{2}{s}-\frac{2}{s+1}-\frac{2}{(s+1)^2}.

Passo 4

Aplicamos a transformada inversa termo a termo, sabendo que \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s}\}=1, \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s+1}\}=e^{-t}
e \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{(s+1)^2}\}=t\,e^{-t}.
Portanto,
y(t) =2\cdot1 -2\,e^{-t} -2\,(t\,e^{-t}) =2-2e^{-t}-2t\,e^{-t}.

Resposta

y(t)=2-2e^{-t}-2t\,e^{-t}.

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