Obtenha um valor aproximado da integral dupla
\iint_{R} 3 x+y^{2} d A
onde \boldsymbol{R} é a região retangular com vértices P=(1,0) e Q=(4,2), \Delta : x_{0}=1, x_{1}=2, x_{2}=3, x_{3}=4, y_{0}=0, y_{1}= 1, y_{2}=2 é uma partição de \boldsymbol{R} e \left(\xi_{i j}, \lambda_{i j}\right) é o centro de cada sub-região \left(\xi_{i j}\right. e \lambda_{i j} são os pontos médios dos extremos dos subintervalos sobre os quais os sub-retângulos, que particionam R, são construídos).

Passo 1

O enunciado pede um valor aproximado da integral dupla
\iint_{R} 3x+y^{2}\,dA
onde R é o retângulo com vértices P=(1,0) e Q=(4,2). A partição \Delta foi dada por
x_{0}=1,\; x_{1}=2,\; x_{2}=3,\; x_{3}=4,\qquad y_{0}=0,\; y_{1}=1,\; y_{2}=2,
e \left(\xi_{ij},\lambda_{ij}\right) é o centro (ponto médio) de cada sub-retângulo.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • 3 subintervalos em x (entre 1 e 4) e 2 subintervalos em y (entre 0 e 2), total de 3\times2=6 sub-retângulos.
  • Os centros \left(\xi_{ij},\lambda_{ij}\right) são os pontos médios dos subintervalos em x e y.
  • Queremos usar esses centros para montar uma soma de Riemann que aproxime a integral.

Passo 2

Método escolhido: soma de Riemann com pontos médios (midpoint rule) para integrais duplas. A ideia é aproximar a integral por
\iint_{R} f(x,y)\,dA \approx \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} f(\xi_{ij},\lambda_{ij})\,\Delta A_{ij},
onde m é o número de subdivisões em x e n o número de subdivisões em y, \Delta A_{ij}=\Delta x_i\Delta y_j é a área do sub-retângulo e (\xi_{ij},\lambda_{ij}) é o ponto médio desse sub-retângulo.
Vamos identificar cada termo para o nosso caso:
  • m=3 e n=2.
  • As larguras dos subintervalos em x são
\Delta x_i = x_i-x_{i-1}=2-1=1,\;3-2=1,\;4-3=1,
logo \Delta x_i=1 para todo i.
  • As larguras dos subintervalos em y são
\Delta y_j = y_j-y_{j-1}=1-0=1,\;2-1=1,
logo \Delta y_j=1 para todo j.
  • Portanto a área de cada sub-retângulo é
\Delta A_{ij}=\Delta x_i\Delta y_j=1\cdot1=1.
Agora calculamos os pontos médios. Para um subintervalo [a,b] o ponto médio é (a+b)/2. Assim os pontos médios em x são
\xi_1=\frac{1+2}{2}=1,5,\qquad \xi_2=\frac{2+3}{2}=2,5,\qquad \xi_3=\frac{3+4}{2}=3,5,
e os pontos médios em y são
\lambda_1=\frac{0+1}{2}=0,5,\qquad \lambda_2=\frac{1+2}{2}=1,5.
Os centros (\xi_{ij},\lambda_{ij}) (listando por coluna em x e linha em y) são portanto:
(1,5,\,0,5),\\ (1,5,\,1,5),\\ (2,5,\,0,5),\\ (2,5,\,1,5),\\ (3,5,\,0,5),\\ (3,5,\,1,5).

Passo 3

A função integrando é f(x,y)=3x+y^{2}. Vamos avaliar f em cada ponto médio e multiplicar por \Delta A_{ij}=1. Faço as contas passo a passo:
Para \xi_1=1,5:
f(1,5,\,0,5)=3\cdot1,5+(0,5)^{2}=4,5+0,25=4,75.
f(1,5,\,1,5)=3\cdot1,5+(1,5)^{2}=4,5+2,25=6,75.
Para \xi_2=2,5:
f(2,5,\,0,5)=3\cdot2,5+(0,5)^{2}=7,5+0,25=7,75.
f(2,5,\,1,5)=3\cdot2,5+(1,5)^{2}=7,5+2,25=9,75.
Para \xi_3=3,5:
f(3,5,\,0,5)=3\cdot3,5+(0,5)^{2}=10,5+0,25=10,75.
f(3,5,\,1,5)=3\cdot3,5+(1,5)^{2}=10,5+2,25=12,75.
Agora somo todos os valores (cada um já multiplicado por \Delta A_{ij}=1):
4,75+6,75+7,75+9,75+10,75+12,75.
Agrupando:
(4,75+6,75)=11,5,\quad(7,75+9,75)=17,5,\quad(10,75+12,75)=23,5.
Somando tudo:
11,5+17,5+23,5=52,5.
Portanto a soma de Riemann pelo ponto médio dá a aproximação 52,5.

Passo 4

Para fechar a intuição, vou calcular rapidamente a integral exata (opcional, só para comparar). Calculando exatamente:
\iint_{R}(3x+y^{2})\,dA=\int_{x=1}^{4}\int_{y=0}^{2}(3x+y^{2})\,dy\,dx.
Integral interna em y:
\int_{0}^{2}(3x+y^{2})\,dy=3x\cdot y+\frac{y^{3}}{3}\bigg|_{0}^{2}=6x+\frac{8}{3}.
Agora em x:
\int_{1}^{4}\left(6x+\frac{8}{3}\right)\,dx=3x^{2}\bigg|_{1}^{4}+\frac{8}{3}x\bigg|_{1}^{4}=3(16-1)+\frac{8}{3}(3)=45+8=53.
A integral exata é 53. A aproximação pelo ponto médio 52,5 está muito próxima (diferença 0,5), o que mostra que a regra do ponto médio funcionou bem aqui.

Resposta

52,5

Exercícios relacionados