onde \boldsymbol{R} é a região retangular com vértices P=(1,0) e Q=(4,2), \Delta : x_{0}=1, x_{1}=2, x_{2}=3, x_{3}=4, y_{0}=0, y_{1}= 1, y_{2}=2 é uma partição de \boldsymbol{R} e \left(\xi_{i j}, \lambda_{i j}\right) é o centro de cada sub-região \left(\xi_{i j}\right. e \lambda_{i j} são os pontos médios dos extremos dos subintervalos sobre os quais os sub-retângulos, que particionam R, são construídos).
Passo 1
O enunciado pede um valor aproximado da integral dupla
\iint_{R} 3x+y^{2}\,dA
onde R é o retângulo com vértices P=(1,0) e Q=(4,2). A partição \Delta foi dada por
onde m é o número de subdivisões em x e n o número de subdivisões em y, \Delta A_{ij}=\Delta x_i\Delta y_j é a área do sub-retângulo e (\xi_{ij},\lambda_{ij}) é o ponto médio desse sub-retângulo.
Vamos identificar cada termo para o nosso caso:
m=3 e n=2.
As larguras dos subintervalos em x são
\Delta x_i = x_i-x_{i-1}=2-1=1,\;3-2=1,\;4-3=1,
logo \Delta x_i=1 para todo i.
As larguras dos subintervalos em y são
\Delta y_j = y_j-y_{j-1}=1-0=1,\;2-1=1,
logo \Delta y_j=1 para todo j.
Portanto a área de cada sub-retângulo é
\Delta A_{ij}=\Delta x_i\Delta y_j=1\cdot1=1.
Agora calculamos os pontos médios. Para um subintervalo [a,b] o ponto médio é (a+b)/2. Assim os pontos médios em x são
A integral exata é 53. A aproximação pelo ponto médio 52,5 está muito próxima (diferença 0,5), o que mostra que a regra do ponto médio funcionou bem aqui.