Utilizando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, determine o valor máximo e/ou mínimo da função f(x, y)=5+x+2 y, sujeita à restrição x^{2}+y^{2}=5.

Passo 1

O enunciado dá a função e a restrição e pede os extremos (máximo e/ou mínimo):
  • Função a otimizar: f(x,y)=5+x+2y.
  • Restrição: x^{2}+y^{2}=5.
    O que é pedido explicitamente: determinar os valores máximo e mínimo (se existirem) de f sujeitos à restrição dada, e os pontos (x,y) onde esses extremos ocorrem.

Passo 2

Ideia do método que vamos aplicar (sem desenvolver ainda): o método dos multiplicadores de Lagrange diz que, para procurar extremos de f sujeitos à restrição g(x,y)=0 com g(x,y)=x^{2}+y^{2}-5, devemos resolver o sistema obtido impondo que o gradiente de f seja colinear com o gradiente de g. Vou agora explicar concretamente o que isso significa e montar as equações.
Explicando os conceitos usados:
  • O gradiente de uma função h(x,y) é o vetor \nabla h=(\partial h/\partial x,\;\partial h/\partial y). Ele aponta na direção de maior aumento de h.
  • A condição de Lagrange: \nabla f=\lambda\,\nabla g, onde \lambda é o multiplicador de Lagrange (uma constante que ajusta a escala). Essa condição significa que, no ponto de extremo sujeito à restrição, as curvas de nível de f são tangentes à curva g(x,y)=0.
  • A restrição deve ser satisfeita: g(x,y)=0, ou seja, x^{2}+y^{2}=5.

Passo 3

Montar a função Lagrangiana. Vou definir
g(x,y)=x^{2}+y^{2}-5,
e a Lagrangiana
\mathcal{L}(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda\,g(x,y)=5+x+2y-\lambda\bigl(x^{2}+y^{2}-5\bigr).
Aqui \lambda é a incógnita extra. As equações do método vêm de anular as derivadas parciais de \mathcal{L} em relação a x, y e \lambda.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais e escrever o sistema:
Derivando em relação a x:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=1-2\lambda x=0.
Derivando em relação a y:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}=2-2\lambda y=0.
Derivando em relação a \lambda (recupera a restrição):
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda}=-(x^{2}+y^{2}-5)=0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}+y^{2}=5.
Portanto o sistema a resolver é
\begin{cases} 1-2\lambda x=0,\\[4pt] 2-2\lambda y=0,\\[4pt] x^{2}+y^{2}=5. \end{cases}]

Passo 5

Resolver as duas primeiras equações para x e y em função de \lambda.
Da primeira equação:
1-2\lambda x=0 \quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{1}{2\lambda}.
Da segunda:
2-2\lambda y=0 \quad\Rightarrow\quad y=\dfrac{2}{2\lambda}=\dfrac{1}{\lambda}.
Agora substituir essas expressões na restrição x^{2}+y^{2}=5.

Passo 6

Substituição na restrição:
x^{2}+y^{2}=\left(\dfrac{1}{2\lambda}\right)^{2}+\left(\dfrac{1}{\lambda}\right)^{2}=\dfrac{1}{4\lambda^{2}}+\dfrac{1}{\lambda^{2}}=\dfrac{1}{\lambda^{2}}\left(\dfrac{1}{4}+1\right)=\dfrac{5}{4\lambda^{2}}.
Impor x^{2}+y^{2}=5:
\dfrac{5}{4\lambda^{2}}=5.
Dividindo ambos os lados por 5:
\dfrac{1}{4\lambda^{2}}=1 \quad\Rightarrow\quad \lambda^{2}=\dfrac{1}{4}.
Logo
\lambda=\pm\dfrac{1}{2}.

Passo 7

Encontrar os pontos correspondentes a cada \lambda.
  • Para \lambda=\dfrac{1}{2}:
x=\dfrac{1}{2\lambda}=\dfrac{1}{2\cdot(1/2)}=1,\qquad y=\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{1}{1/2}=2.
Verificação rápida: 1^{2}+2^{2}=1+4=5 (está na restrição).
  • Para \lambda=-\dfrac{1}{2}:
x=\dfrac{1}{2\lambda}=\dfrac{1}{2\cdot(-1/2)}=-1,\qquad y=\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{1}{-1/2}=-2.
Verificação: (-1)^{2}+(-2)^{2}=1+4=5 (também está na restrição).
Portanto temos dois candidatos a extremo: (1,2) e (-1,-2).

Passo 8

Avaliar f em cada ponto candidato.
  • Em (1,2):
f(1,2)=5+1+2\cdot 2=5+1+4=10.
  • Em (-1,-2):
f(-1,-2)=5+(-1)+2\cdot(-2)=5-1-4=0.

Passo 9

Identificação de máximo e mínimo. Justificativa: a restrição x^{2}+y^{2}=5 é um conjunto compacto (uma circunferência fechada e limitada) e f é contínua, logo f atinge máximo e mínimo sobre esse conjunto. Compare os valores encontrados: 10 e 0. Portanto 10 é o valor máximo e 0 é o valor mínimo, ocorrendo nos pontos correspondentes encontrados.
Pequena intuição geométrica rápida (opcional, só para fixar): como f(x,y)=5+x+2y é afim (uma soma linear mais constante), na circunferência seu máximo ocorre na direção do vetor de coeficientes (1,2) e o mínimo na direção oposta (-1,-2). Os pontos acima coincidem com essa ideia.

Resposta

Máximo: \,f_{\max}=10 em (1,2)
Mínimo: \,f_{\min}=0 em (-1,-2)

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