Utilizando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, determine o valor máximo e/ou mínimo da função f(x, y)=5+x+2 y, sujeita à restrição x^{2}+y^{2}=5.
Passo 1
O enunciado dá a função e a restrição e pede os extremos (máximo e/ou mínimo):
Função a otimizar: f(x,y)=5+x+2y.
Restrição: x^{2}+y^{2}=5.
O que é pedido explicitamente: determinar os valores máximo e mínimo (se existirem) de f sujeitos à restrição dada, e os pontos (x,y) onde esses extremos ocorrem.
Passo 2
Ideia do método que vamos aplicar (sem desenvolver ainda): o método dos multiplicadores de Lagrange diz que, para procurar extremos de f sujeitos à restrição g(x,y)=0 com g(x,y)=x^{2}+y^{2}-5, devemos resolver o sistema obtido impondo que o gradiente de f seja colinear com o gradiente de g. Vou agora explicar concretamente o que isso significa e montar as equações.
Explicando os conceitos usados:
O gradiente de uma função h(x,y) é o vetor \nabla h=(\partial h/\partial x,\;\partial h/\partial y). Ele aponta na direção de maior aumento de h.
A condição de Lagrange: \nabla f=\lambda\,\nabla g, onde \lambda é o multiplicador de Lagrange (uma constante que ajusta a escala). Essa condição significa que, no ponto de extremo sujeito à restrição, as curvas de nível de f são tangentes à curva g(x,y)=0.
A restrição deve ser satisfeita: g(x,y)=0, ou seja, x^{2}+y^{2}=5.
Verificação: (-1)^{2}+(-2)^{2}=1+4=5 (também está na restrição).
Portanto temos dois candidatos a extremo: (1,2) e (-1,-2).
Passo 8
Avaliar f em cada ponto candidato.
Em (1,2):
f(1,2)=5+1+2\cdot 2=5+1+4=10.
Em (-1,-2):
f(-1,-2)=5+(-1)+2\cdot(-2)=5-1-4=0.
Passo 9
Identificação de máximo e mínimo. Justificativa: a restrição x^{2}+y^{2}=5 é um conjunto compacto (uma circunferência fechada e limitada) e f é contínua, logo f atinge máximo e mínimo sobre esse conjunto. Compare os valores encontrados: 10 e 0. Portanto 10 é o valor máximo e 0 é o valor mínimo, ocorrendo nos pontos correspondentes encontrados.
Pequena intuição geométrica rápida (opcional, só para fixar): como f(x,y)=5+x+2y é afim (uma soma linear mais constante), na circunferência seu máximo ocorre na direção do vetor de coeficientes (1,2) e o mínimo na direção oposta (-1,-2). Os pontos acima coincidem com essa ideia.
Resposta
Máximo: \,f_{\max}=10 em (1,2)
Mínimo: \,f_{\min}=0 em (-1,-2)