Calcule as integrais iteradas a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral iterada
Informações dadas:
- A integração interna é em
, com limite a . - A integração externa é em
, com limite a . - A função integranda é
, que é produto de uma parte que depende só de ( ) e uma parte que depende só de ( ).
O objetivo é obter o valor numérico dessa integral.
Passo 2
Estratégia: calcular primeiro a integral interna em
, tratando
como constante (pois estamos integrando em
). Regra útil que vamos usar:
onde
é constante de integração (não precisamos dela em integrais definidas). Aqui
.
Calculemos a integral interna:
Como
é constante em relação a
, podemos fazer:
Aplicando a fórmula com
:
Portanto a integral interna é
Passo 3
Agora substituímos o resultado da integral interna na integral externa e calculamos:
onde puxei a constante
para fora da integral.
Calcule a integral de
:
Multiplicando pela constante:
Passo 4
Interpretação alternativa (atalho muito útil em provas): a função inteira
, vista como função de
para cada
, é ímpar em
(pois
é par e
é ímpar, o produto é ímpar). A integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico
é zero. Aqui o intervalo em
é
, simétrico, logo a integral será zero sem cálculo detalhado. Isso confirma o resultado obtido acima.