Calcule as integrais iteradas a seguir.
\int_{-1}^{1} \int_{0}^{2} x^{2} y d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{-1}^{1}\int_{0}^{2} x^{2}y\,dx\,dy.
Informações dadas:
  • A integração interna é em x, com limite x=0 a x=2.
  • A integração externa é em y, com limite y=-1 a y=1.
  • A função integranda é x^{2}y, que é produto de uma parte que depende só de x ( x^{2}) e uma parte que depende só de y ( y).
    O objetivo é obter o valor numérico dessa integral.

Passo 2

Estratégia: calcular primeiro a integral interna em x, tratando y como constante (pois estamos integrando em x). Regra útil que vamos usar:
\text{Para }n\neq-1,\qquad \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é constante de integração (não precisamos dela em integrais definidas). Aqui n=2.
Calculemos a integral interna:
\int_{0}^{2} x^{2}y\,dx
Como y é constante em relação a x, podemos fazer:
\int_{0}^{2} x^{2}y\,dx = y\int_{0}^{2} x^{2}\,dx.
Aplicando a fórmula com n=2:
\int_{0}^{2} x^{2}\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = \frac{2^{3}}{3}-\frac{0^{3}}{3} = \frac{8}{3}.
Portanto a integral interna é
\int_{0}^{2} x^{2}y\,dx = y\cdot\frac{8}{3} = \frac{8}{3}y.

Passo 3

Agora substituímos o resultado da integral interna na integral externa e calculamos:
\int_{-1}^{1} \left(\frac{8}{3}y\right)\,dy = \frac{8}{3}\int_{-1}^{1} y\,dy,
onde puxei a constante \frac{8}{3} para fora da integral.
Calcule a integral de y:
\int_{-1}^{1} y\,dy = \left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{-1}^{1} = \frac{1^{2}}{2}-\frac{(-1)^{2}}{2} = \frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0.
Multiplicando pela constante:
\frac{8}{3}\cdot 0 = 0.

Passo 4

Interpretação alternativa (atalho muito útil em provas): a função inteira x^{2}y, vista como função de y para cada x, é ímpar em y (pois x^{2} é par e y é ímpar, o produto é ímpar). A integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico [-a,a] é zero. Aqui o intervalo em y é [-1,1], simétrico, logo a integral será zero sem cálculo detalhado. Isso confirma o resultado obtido acima.

Resposta

0

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