Obtenha um valor aproximado da integral dupla, onde
é a região retangular com vértices
e
é uma partição de
e
é o centro de cada sub-região (
e
são os pontos médios dos extremos dos subintervalos sobre os quais os sub-retângulos, que particionam
, são construídos).
e
.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais são os dados que temos:
- Pede: obter um valor aproximado da integral dupla
. - Região:
é o retângulo com vértices e . - Partição
dada pelos pontos em e : -
. -
.
-
- Amostragem: em cada sub-retângulo usa-se
, que são os centros (pontos médios) dos subintervalos em e . - Número de sub-retângulos: há
subdivisões em e em , logo sub-retângulos.
Nenhuma outra informação foi pedida; a aproximação deve ser feita usando os centros fornecidos pela partição.
Passo 2
Explicando o método que vamos aplicar (como funciona, passo a passo):
- Para aproximar a integral dupla usando amostragem por centros (regra do ponto médio por sub-retângulo), usamos a fórmula de soma de Riemann:
onde
é a área do
-ésimo sub-retângulo e
é o ponto amostrado nele (aqui, o centro).
- Interpretação das quantidades:
-
é a largura do subintervalo em . -
é a largura do subintervalo em . -
. - Como os centros são pontos médios, para um subintervalo
o ponto médio é (idem em ).
-
- No nosso caso
. Vamos calcular , os centros em e , avaliar nesses centros, multiplicar por e somar sobre todos os 8 sub-retângulos.
Passo 3
Calcular
,
e
:
- Como os pontos em
são , todos os subintervalos em têm largura
- Como os pontos em
são , todos os subintervalos em têm largura
- Portanto cada sub-retângulo tem área
Passo 4
Calcular os pontos médios (centros) em
e em
:
- Pontos médios em
(para os quatro subintervalos ):
- Pontos médios em
(para os dois subintervalos ):
- Assim os centros
formam a grade de pontos:
Passo 5
Avaliar a função
nos centros da primeira linha
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Somar os valores da primeira linha:
Passo 7
Avaliar a função
nos centros da segunda linha
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 8
Somar os valores da segunda linha:
Passo 9
Somar todas as contribuições e multiplicar por
:
- Soma total das avaliações:
- Como
para cada sub-retângulo, a soma já é a aproximação da integral:
Passo 10
Comentário pedagógico e verificação (opcional): calcular a integral exata para ver quão boa é a aproximação.
- Integral exata:
- Calcular a integral interna em
:
- Agora integrar em
:
- Portanto a aproximação por pontos médios com essa partição deu
, que está bem próxima do valor exato . Boa notícia: a regra do ponto médio costuma dar aproximações razoáveis com partições simétricas como esta.