Obtenha um valor aproximado da integral dupla, onde boldsymbol{R} é a região retangular com vértices P e Q, \Delta é uma partição de boldsymbol{R} e \left(\xi_{i j}, \lambda_{i j}\right) é o centro de cada sub-região ( \xi_{i j} e \lambda_{i j} são os pontos médios dos extremos dos subintervalos sobre os quais os sub-retângulos, que particionam R, são construídos).
\quad \iint_{R}\left(x^{2}+y\right) d A ; \quad P=(0,0) ; \quad Q=(4,2) \quad e \Delta: x_{0}=0, x_{1}=1, x_{2}=2, x_{3}=3, x_{4}=4, y_{0}=0, y_{1}= 1, y_{2}=2.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais são os dados que temos:
  • Pede: obter um valor aproximado da integral dupla \displaystyle \iint_{R}\left(x^{2}+y\right)\,dA.
  • Região: R é o retângulo com vértices P=(0,0) e Q=(4,2).
  • Partição \Delta dada pelos pontos em x e y:
    • x_0=0,\; x_1=1,\; x_2=2,\; x_3=3,\; x_4=4.
    • y_0=0,\; y_1=1,\; y_2=2.
  • Amostragem: em cada sub-retângulo usa-se \left(\xi_{ij},\lambda_{ij}\right), que são os centros (pontos médios) dos subintervalos em x e y.
  • Número de sub-retângulos: há 4 subdivisões em x e 2 em y, logo 4\times2=8 sub-retângulos.
    Nenhuma outra informação foi pedida; a aproximação deve ser feita usando os centros fornecidos pela partição.

Passo 2

Explicando o método que vamos aplicar (como funciona, passo a passo):
  • Para aproximar a integral dupla usando amostragem por centros (regra do ponto médio por sub-retângulo), usamos a fórmula de soma de Riemann:
\iint_{R} f(x,y)\,dA \approx \sum_{i}\sum_{j} f\big(\xi_{ij},\lambda_{ij}\big)\,\Delta A_{ij},
onde \Delta A_{ij} é a área do ij-ésimo sub-retângulo e \big(\xi_{ij},\lambda_{ij}\big) é o ponto amostrado nele (aqui, o centro).
  • Interpretação das quantidades:
    • \Delta x_i = x_i - x_{i-1} é a largura do subintervalo em x.
    • \Delta y_j = y_j - y_{j-1} é a largura do subintervalo em y.
    • \Delta A_{ij} = \Delta x_i\cdot\Delta y_j.
    • Como os centros são pontos médios, para um subintervalo [x_{i-1},x_i] o ponto médio é \xi_{i}=\dfrac{x_{i-1}+x_i}{2} (idem em y).
  • No nosso caso f(x,y)=x^{2}+y. Vamos calcular \Delta x,\Delta y, os centros em x e y, avaliar f nesses centros, multiplicar por \Delta A e somar sobre todos os 8 sub-retângulos.

Passo 3

Calcular \Delta x, \Delta y e \Delta A:
  • Como os pontos em x são 0,1,2,3,4, todos os subintervalos em x têm largura
\Delta x = 1.
  • Como os pontos em y são 0,1,2, todos os subintervalos em y têm largura
\Delta y = 1.
  • Portanto cada sub-retângulo tem área
\Delta A = \Delta x\cdot\Delta y = 1\cdot 1 = 1.

Passo 4

Calcular os pontos médios (centros) em x e em y:
  • Pontos médios em x (para os quatro subintervalos [0,1],[1,2],[2,3],[3,4]):
\xi_1=\frac{0+1}{2}=0{,}5,\qquad \xi_2=\frac{1+2}{2}=1{,}5,\qquad \xi_3=\frac{2+3}{2}=2{,}5,\qquad \xi_4=\frac{3+4}{2}=3{,}5.
  • Pontos médios em y (para os dois subintervalos [0,1],[1,2]):
\lambda_1=\frac{0+1}{2}=0{,}5,\qquad \lambda_2=\frac{1+2}{2}=1{,}5.
  • Assim os centros \big(\xi_{i},\lambda_{j}\big) formam a grade de 8 pontos:
(0{,}5,0{,}5),\\ (1{,}5,0{,}5),\\ (2{,}5,0{,}5),\\ (3{,}5,0{,}5),
(0{,}5,1{,}5),\\ (1{,}5,1{,}5),\\ (2{,}5,1{,}5),\\ (3{,}5,1{,}5).

Passo 5

Avaliar a função f(x,y)=x^{2}+y nos centros da primeira linha y=0{,}5:
  • Para (\xi_1,\lambda_1)=(0{,}5,0{,}5):
f(0{,}5,0{,}5) = (0{,}5)^{2}+0{,}5 = 0{,}25+0{,}5 = 0{,}75.
  • Para (\xi_2,\lambda_1)=(1{,}5,0{,}5):
f(1{,}5,0{,}5) = (1{,}5)^{2}+0{,}5 = 2{,}25+0{,}5 = 2{,}75.
  • Para (\xi_3,\lambda_1)=(2{,}5,0{,}5):
f(2{,}5,0{,}5) = (2{,}5)^{2}+0{,}5 = 6{,}25+0{,}5 = 6{,}75.
  • Para (\xi_4,\lambda_1)=(3{,}5,0{,}5):
f(3{,}5,0{,}5) = (3{,}5)^{2}+0{,}5 = 12{,}25+0{,}5 = 12{,}75.

Passo 6

Somar os valores da primeira linha:
0{,}75 + 2{,}75 + 6{,}75 + 12{,}75 = 23{,}00.

Passo 7

Avaliar a função f nos centros da segunda linha y=1{,}5:
  • Para (0{,}5,1{,}5):
f(0{,}5,1{,}5) = 0{,}25 + 1{,}5 = 1{,}75.
  • Para (1{,}5,1{,}5):
f(1{,}5,1{,}5) = 2{,}25 + 1{,}5 = 3{,}75.
  • Para (2{,}5,1{,}5):
f(2{,}5,1{,}5) = 6{,}25 + 1{,}5 = 7{,}75.
  • Para (3{,}5,1{,}5):
f(3{,}5,1{,}5) = 12{,}25 + 1{,}5 = 13{,}75.

Passo 8

Somar os valores da segunda linha:
1{,}75 + 3{,}75 + 7{,}75 + 13{,}75 = 27{,}00.

Passo 9

Somar todas as contribuições e multiplicar por \Delta A:
  • Soma total das avaliações:
23{,}00 + 27{,}00 = 50{,}00.
  • Como \Delta A=1 para cada sub-retângulo, a soma já é a aproximação da integral:
\iint_{R} (x^{2}+y)\,dA \approx 50.

Passo 10

Comentário pedagógico e verificação (opcional): calcular a integral exata para ver quão boa é a aproximação.
  • Integral exata:
\iint_{R} (x^{2}+y)\,dA = \int_{0}^{4}\int_{0}^{2} (x^{2}+y)\,dy\,dx.
  • Calcular a integral interna em y:
\int_{0}^{2} (x^{2}+y)\,dy = \big[x^{2}y + \tfrac{1}{2}y^{2}\big]_{0}^{2} = 2x^{2} + 2.
  • Agora integrar em x:
\int_{0}^{4} (2x^{2}+2)\,dx = \big[\tfrac{2}{3}x^{3} + 2x\big]_{0}^{4} = \tfrac{2}{3}\cdot 64 + 8 = \tfrac{128}{3} + 8 = \tfrac{152}{3}\approx 50{,}666\ldots
  • Portanto a aproximação por pontos médios com essa partição deu 50, que está bem próxima do valor exato \tfrac{152}{3}\approx 50{,}666\ldots. Boa notícia: a regra do ponto médio costuma dar aproximações razoáveis com partições simétricas como esta.

Resposta

50

Exercícios relacionados