Obtenha um valor aproximado da integral dupla, onde
é a região retangular com vértices
e
é uma partição de
e
é o centro de cada sub-região (
e
são os pontos médios dos extremos dos subintervalos sobre os quais os sub-retângulos, que particionam
, são construídos).
e
.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Obter um valor aproximado da integral dupla
usando a partição e os centros que são os pontos médios de cada sub-retângulo.
Informações dadas (peguei todas do enunciado):
- Os vértices opostos do retângulo são
e . - A partição em
é . - A partição em
é . - Os pontos
são os centros (pontos médios) de cada sub-região.
Passo 2
Escolha do método e fórmula que vamos usar (explicação didática).
- Como temos uma partição e os centros (pontos médios) de cada sub-retângulo, usamos a regra dos pontos médios para somas de Riemann em duas variáveis.
- A ideia: aproximar a integral por
onde
é a área do
-ésimo sub-retângulo e
é o seu ponto médio.
- No nosso caso
. Como todas as subintervalos em têm o mesmo tamanho e em também, teremos constante para todos os sub-retângulos.
Passo 3
Calcular os comprimentos dos subintervalos em
e em
.
- Para
:
Logo todos os
valem
.
- Para
:
Logo todos os
valem
.
Passo 4
Calcular os pontos médios
em
e
em
.
- Pontos médios em
:
- Pontos médios em
:
Passo 5
Área de cada sub-retângulo e escrita da soma de Riemann.
- Como
e , a área de cada sub-retângulo é
- A aproximação por pontos médios é
Passo 6
Cálculo eficiente da soma dupla (truque de fatoração para poupar conta).
- Primeiro observe que
- Para a primeira soma:
pois somando produto separáveis dá produto das somas.
- Calcule
e :
Logo
- Para a segunda soma:
Calcule
. Então
- Somando as duas partes:
Passo 7
Multiplicar pela área
e obter o valor aproximado.
Passo 8
Verificação rápida (opcional, para ganhar confiança): calcular a integral exata e comparar.
- Integral exata sobre o retângulo
:
- Calcule a integral interna:
Logo a integral interna é
.
- Integral em
:
Calcule em
:
. Em
:
. Subtraindo:
- Portanto o valor exato é
. Nossa aproximação por pontos médios deu , o que está bem perto (erro , cerca de ).