Obtenha um valor aproximado da integral dupla, onde boldsymbol{R} é a região retangular com vértices P e Q, \Delta é uma partição de boldsymbol{R} e \left(\xi_{i j}, \lambda_{i j}\right) é o centro de cada sub-região ( \xi_{i j} e \lambda_{i j} são os pontos médios dos extremos dos subintervalos sobre os quais os sub-retângulos, que particionam R, são construídos).
\quad \iint_{R}\left(x y+y^{2}\right) d A ; \quad P=(-2,0) ; Q=(4,6) \quad e \Delta: x_{0}=-2, x_{1}=0, x_{2}=2, x_{3}=4, \quad y_{0}=0, y_{1}= 2, y_{2}=4, y_{3}=6.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Obter um valor aproximado da integral dupla \iint_{R}\left(xy+y^{2}\right)\,dA usando a partição \Delta e os centros \left(\xi_{ij},\lambda_{ij}\right) que são os pontos médios de cada sub-retângulo.
Informações dadas (peguei todas do enunciado):
  • Os vértices opostos do retângulo são P=(-2,0) e Q=(4,6).
  • A partição em x é x_{0}=-2,\; x_{1}=0,\; x_{2}=2,\; x_{3}=4.
  • A partição em y é y_{0}=0,\; y_{1}=2,\; y_{2}=4,\; y_{3}=6.
  • Os pontos \left(\xi_{ij},\lambda_{ij}\right) são os centros (pontos médios) de cada sub-região.

Passo 2

Escolha do método e fórmula que vamos usar (explicação didática).
  • Como temos uma partição e os centros (pontos médios) de cada sub-retângulo, usamos a regra dos pontos médios para somas de Riemann em duas variáveis.
  • A ideia: aproximar a integral por
\iint_{R} f(x,y)\,dA \approx \sum_{i}\sum_{j} f(\xi_{ij},\lambda_{ij})\,\Delta A_{ij},
onde \Delta A_{ij}=\Delta x_i\cdot\Delta y_j é a área do ij-ésimo sub-retângulo e (\xi_{ij},\lambda_{ij}) é o seu ponto médio.
  • No nosso caso f(x,y)=xy+y^{2}. Como todas as subintervalos em x têm o mesmo tamanho e em y também, teremos \Delta A_{ij}=\Delta x\cdot\Delta y constante para todos os sub-retângulos.

Passo 3

Calcular os comprimentos dos subintervalos em x e em y.
  • Para x:
\Delta x_{1}=x_{1}-x_{0}=0-(-2)=2, \quad \Delta x_{2}=x_{2}-x_{1}=2-0=2, \quad \Delta x_{3}=x_{3}-x_{2}=4-2=2.
Logo todos os \Delta x_{i} valem 2.
  • Para y:
\Delta y_{1}=y_{1}-y_{0}=2-0=2, \quad \Delta y_{2}=y_{2}-y_{1}=4-2=2, \quad \Delta y_{3}=y_{3}-y_{2}=6-4=2.
Logo todos os \Delta y_{j} valem 2.

Passo 4

Calcular os pontos médios \xi_{i} em x e \lambda_{j} em y.
  • Pontos médios em x:
\xi_{1}=\frac{x_{0}+x_{1}}{2}=\frac{-2+0}{2}=-1, \quad \xi_{2}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{0+2}{2}=1, \quad \xi_{3}=\frac{x_{2}+x_{3}}{2}=\frac{2+4}{2}=3.
  • Pontos médios em y:
\lambda_{1}=\frac{y_{0}+y_{1}}{2}=\frac{0+2}{2}=1, \quad \lambda_{2}=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}=\frac{2+4}{2}=3, \quad \lambda_{3}=\frac{y_{2}+y_{3}}{2}=\frac{4+6}{2}=5.

Passo 5

Área de cada sub-retângulo e escrita da soma de Riemann.
  • Como \Delta x=2 e \Delta y=2, a área de cada sub-retângulo é
\Delta A=\Delta x\cdot\Delta y=2\cdot2=4.
  • A aproximação por pontos médios é
\iint_{R}\left(xy+y^{2}\right)\,dA \approx \sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}\left(\xi_{i}\lambda_{j}+\lambda_{j}^{2}\right)\Delta A.

Passo 6

Cálculo eficiente da soma dupla (truque de fatoração para poupar conta).
  • Primeiro observe que
\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}\left(\xi_{i}\lambda_{j}+\lambda_{j}^{2}\right) = \sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}\xi_{i}\lambda_{j} + \sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}\lambda_{j}^{2}.
  • Para a primeira soma:
\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}\xi_{i}\lambda_{j} = \left(\sum_{i=1}^{3}\xi_{i}\right)\left(\sum_{j=1}^{3}\lambda_{j}\right),
pois somando produto separáveis dá produto das somas.
  • Calcule \sum_{i}\xi_{i} e \sum_{j}\lambda_{j}:
\sum_{i=1}^{3}\xi_{i}=(-1)+1+3=3, \qquad \sum_{j=1}^{3}\lambda_{j}=1+3+5=9.
Logo
\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}\xi_{i}\lambda_{j}=3\cdot9=27.
  • Para a segunda soma:
\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}\lambda_{j}^{2} = \sum_{i=1}^{3}\left(\sum_{j=1}^{3}\lambda_{j}^{2}\right) =3\cdot\left(1^{2}+3^{2}+5^{2}\right).
Calcule 1^{2}+3^{2}+5^{2}=1+9+25=35. Então
\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}\lambda_{j}^{2}=3\cdot35=105.
  • Somando as duas partes:
\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}\left(\xi_{i}\lambda_{j}+\lambda_{j}^{2}\right)=27+105=132.

Passo 7

Multiplicar pela área \Delta A e obter o valor aproximado.
\iint_{R}\left(xy+y^{2}\right)\,dA \approx 132\cdot\Delta A=132\cdot4=528.

Passo 8

Verificação rápida (opcional, para ganhar confiança): calcular a integral exata e comparar.
  • Integral exata sobre o retângulo x\in[-2,4],\; y\in[0,6]:
\iint_{R}\left(xy+y^{2}\right)\,dA = \int_{x=-2}^{4}\left(\int_{y=0}^{6}(xy+y^{2})\,dy\right)dx.
  • Calcule a integral interna:
\int_{0}^{6}xy\,dy = x\int_{0}^{6}y\,dy = x\cdot\frac{6^{2}}{2}=18x, \qquad \int_{0}^{6}y^{2}\,dy=\frac{6^{3}}{3}=72.
Logo a integral interna é 18x+72.
  • Integral em x:
\int_{-2}^{4}(18x+72)\,dx = \left[9x^{2}+72x\right]_{-2}^{4}.
Calcule em x=4: 9\cdot16+72\cdot4=144+288=432. Em x=-2: 9\cdot4+72\cdot(-2)=36-144=-108. Subtraindo:
432-(-108)=540.
  • Portanto o valor exato é 540. Nossa aproximação por pontos médios deu 528, o que está bem perto (erro |540-528|=12, cerca de 2{,}2\%).

Resposta

528

Exercícios relacionados