Use o método dos Multiplicadores de Lagrange para encontrar a menor e a maior distância da origem
a um ponto do elipsóide
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a menor e a maior distância da origem
a um ponto do elipsóide dado por
.
Informações relevantes fornecidas:
- Superfície (restrição):
- Ponto de referência (origem):
. - Queremos as distâncias (mínima e máxima) da origem a pontos
que satisfazem a restrição.
Passo 2
Decisão de função a otimizar: em vez de trabalhar com a distância
diretamente, é mais simples minimizar e maximizar a função “distância ao quadrado”
porque a raiz quadrada é monótona crescente para valores não negativos. Assim qualquer ponto que minimize (ou maximize)
também minimiza (ou maximiza)
, e
. Isso evita raízes durante os cálculos e facilita os passos na prova.
Passo 3
Ideia do método dos multiplicadores de Lagrange (explicação didática):
- Queremos extremos de
sujeitos à restrição . - A condição ótima (para pontos regulares da superfície) é que os vetores gradiente de
e sejam colineares, i.e., exista tal que
- Aqui
significa o vetor das derivadas parciais de : . Mesmo para quem nunca decorou: é só juntar as derivadas parciais em um vetor — isso aponta a direção de maior crescimento da função. - O multiplicador
é um número que ajusta o tamanho do gradiente de para igualar o gradiente de . Em provas, normalmente escreve-se o sistema junto com a restrição e resolve-se para .
Passo 4
Calcular os gradientes e escrever o sistema:
- Primeiro as derivadas parciais de
:
- Depois as derivadas parciais de
:
- A condição
dá o sistema (com três equações):
juntamente com a restrição
Passo 5
Rearranjando as equações do sistema (colocando tudo à esquerda):
Cada uma dessas equações tem a forma
. Logo, para cada coordenada vale: ou a coordenada é zero, ou o coeficiente é zero (o que dá um valor específico para
). Em palavras: se
então necessariamente
(logo
); se
então
; se
então
.
Passo 6
Análise de combinações possíveis (explicada passo a passo):
- Se
fossem todos não nulos, então teria de ser simultaneamente , e , o que é impossível. Portanto NÃO é possível que os três sejam não nulos. - Assim pelo menos uma das coordenadas é zero. Vamos examinar os casos possíveis compatíveis com as igualdades de
.
Passo 7
Caso
: isso ocorre apenas quando
. Então as outras equações forçam
e
. Usando a restrição:
Logo
. Pontos candidatos:
e
.
Distância ao quadrado: . Distância:
.
Distância ao quadrado:
Passo 8
Caso
: isso ocorre apenas quando
. Então
e
. Pela restrição:
Então
. Pontos candidatos:
e
.
Distância ao quadrado: . Distância:
.
Distância ao quadrado:
Passo 9
Caso
: isso ocorre apenas quando
. Então
e
. Pela restrição:
Então
. Pontos candidatos:
e
.
Distância ao quadrado: . Distância:
.
Distância ao quadrado:
Passo 10
Resumo dos candidatos encontrados e suas distâncias:
- Pontos
: distância . - Pontos
: distância . - Pontos
: distância .
Argumento final de validade: o elipsóide é um conjunto compacto (fechado e limitado), portanto a função contínua distância atinge valores mínimo e máximo sobre ele. As únicas candidaturas dadas pelo método de Lagrange são as listadas; assim o menor e o maior dentre os valores calculados são, respectivamente, os extremos globais.
Resposta
Menor distância:
(ocorre nos pontos
).
Maior distância: (ocorre nos pontos
).
Maior distância: