Use o método dos Multiplicadores de Lagrange para encontrar a menor e a maior distância da origem (0,0,0) a um ponto do elipsóide 9 x^{2}+4 y^{2}+z^{2}=36.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a menor e a maior distância da origem (0,0,0) a um ponto do elipsóide dado por 9x^{2}+4y^{2}+z^{2}=36.
Informações relevantes fornecidas:
  • Superfície (restrição): \;g(x,y,z)=9x^{2}+4y^{2}+z^{2}-36=0.
  • Ponto de referência (origem): (0,0,0).
  • Queremos as distâncias (mínima e máxima) da origem a pontos (x,y,z) que satisfazem a restrição.

Passo 2

Decisão de função a otimizar: em vez de trabalhar com a distância d=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} diretamente, é mais simples minimizar e maximizar a função “distância ao quadrado”
f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2},
porque a raiz quadrada é monótona crescente para valores não negativos. Assim qualquer ponto que minimize (ou maximize) f também minimiza (ou maximiza) d, e d=\sqrt{f}. Isso evita raízes durante os cálculos e facilita os passos na prova.

Passo 3

Ideia do método dos multiplicadores de Lagrange (explicação didática):
  • Queremos extremos de f sujeitos à restrição g(x,y,z)=0.
  • A condição ótima (para pontos regulares da superfície) é que os vetores gradiente de f e g sejam colineares, i.e., exista \lambda tal que
\nabla f(x,y,z)=\lambda\,\nabla g(x,y,z).
  • Aqui \nabla f significa o vetor das derivadas parciais de f: \nabla f=(\partial f/\partial x,\partial f/\partial y,\partial f/\partial z). Mesmo para quem nunca decorou: é só juntar as derivadas parciais em um vetor — isso aponta a direção de maior crescimento da função.
  • O multiplicador \lambda é um número que ajusta o tamanho do gradiente de g para igualar o gradiente de f. Em provas, normalmente escreve-se o sistema \nabla f=\lambda\nabla g junto com a restrição g=0 e resolve-se para x,y,z,\lambda.

Passo 4

Calcular os gradientes e escrever o sistema:
  • Primeiro as derivadas parciais de f:
\nabla f=(2x,\,2y,\,2z).
  • Depois as derivadas parciais de g:
\nabla g=(18x,\,8y,\,2z).
  • A condição \nabla f=\lambda\nabla g dá o sistema (com três equações):
2x = \lambda\cdot 18x,
2y = \lambda\cdot 8y,
2z = \lambda\cdot 2z,
juntamente com a restrição
9x^{2}+4y^{2}+z^{2}=36.

Passo 5

Rearranjando as equações do sistema (colocando tudo à esquerda):
(2-18\lambda)x = 0,
(2-8\lambda)y = 0,
(2-2\lambda)z = 0.
Cada uma dessas equações tem a forma (\text{coeficiente em }\lambda)\times (\text{variável})=0á. Logo, para cada coordenada vale: ou a coordenada é zero, ou o coeficiente é zero (o que dá um valor específico para \lambda). Em palavras: se x\neq0 então necessariamente 2-18\lambda=0 (logo \lambda=1/9); se y\neq0 então \lambda=1/4; se z\neq0 então \lambda=1.

Passo 6

Análise de combinações possíveis (explicada passo a passo):
  • Se x,y,z fossem todos não nulos, então \lambda teria de ser simultaneamente 1/9, 1/4 e 1, o que é impossível. Portanto NÃO é possível que os três sejam não nulos.
  • Assim pelo menos uma das coordenadas é zero. Vamos examinar os casos possíveis compatíveis com as igualdades de \lambda.

Passo 7

Caso \lambda = 1/9: isso ocorre apenas quando x\neq0. Então as outras equações forçam y=0 e z=0. Usando a restrição:
9x^{2}+4\cdot 0^{2}+0^{2}=36 \quad\Rightarrow\quad 9x^{2}=36 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=4.
Logo x=\pm 2. Pontos candidatos: (2,0,0) e (-2,0,0).
Distância ao quadrado: f=x^{2}+0+0=4. Distância: d=\sqrt{4}=2.

Passo 8

Caso \lambda = 1/4: isso ocorre apenas quando y\neq0. Então x=0 e z=0. Pela restrição:
9\cdot 0^{2}+4y^{2}+0^{2}=36 \quad\Rightarrow\quad 4y^{2}=36 \quad\Rightarrow\quad y^{2}=9.
Então y=\pm 3. Pontos candidatos: (0,3,0) e (0,-3,0).
Distância ao quadrado: f=0+9+0=9. Distância: d=\sqrt{9}=3.

Passo 9

Caso \lambda = 1: isso ocorre apenas quando z\neq0. Então x=0 e y=0. Pela restrição:
9\cdot 0^{2}+4\cdot 0^{2}+z^{2}=36 \quad\Rightarrow\quad z^{2}=36.
Então z=\pm 6. Pontos candidatos: (0,0,6) e (0,0,-6).
Distância ao quadrado: f=0+0+36=36. Distância: d=\sqrt{36}=6.

Passo 10

Resumo dos candidatos encontrados e suas distâncias:
  • Pontos (\pm 2,0,0): distância 2.
  • Pontos (0,\pm 3,0): distância 3.
  • Pontos (0,0,\pm 6): distância 6.
Argumento final de validade: o elipsóide é um conjunto compacto (fechado e limitado), portanto a função contínua distância atinge valores mínimo e máximo sobre ele. As únicas candidaturas dadas pelo método de Lagrange são as listadas; assim o menor e o maior dentre os valores calculados são, respectivamente, os extremos globais.

Resposta

Menor distância: 2 (ocorre nos pontos (\pm 2,0,0)).
Maior distância: 6 (ocorre nos pontos (0,0,\pm 6)).

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