A probabilidade de um arqueiro acertar um alvo com uma única flecha é em geral igual a
, se o arqueiro lançar 30 flechas no alvo. Calcule a probabilidade de que:
a) exatamente quatro flechas acertem o alvo?
b)pelo menos duas flechas acertem o alvo?
a) exatamente quatro flechas acertem o alvo?
b)pelo menos duas flechas acertem o alvo?
Passo 1
O enunciado diz que a probabilidade de um arqueiro acertar o alvo com uma única flecha é
. Ele atira
flechas. As perguntas são:
- (a) Qual a probabilidade de que exatamente quatro flechas acertem o alvo?
- (b) Qual a probabilidade de que pelo menos duas flechas acertem o alvo?
Informações relevantes dadas:
Passo 2
Modelo que vamos usar (explicação didática). Quando temos um experimento com um número fixo
de tentativas independentes, cada tentativa com probabilidade
de sucesso e
de fracasso, o número de sucessos
segue uma distribuição binomial. A fórmula da probabilidade de ocorrer exatamente
sucessos é
Aqui:
-
é o número de maneiras diferentes de escolher quais tentativas entre as deram sucesso; -
é a probabilidade de que essas escolhidas sejam todas sucessos; -
é a probabilidade de que as demais sejam fracassos.
Vou aplicar essa fórmula come .
Passo 3
Calcular
(explicando como calcular combinatória). A combinação é dada por
Faço a conta em etapas para ficar simples de fazer à mão:
Denominador
. Então
Passo 4
Preparar as potências de
e
que aparecem em
.
Para calcular
é conveniente usar potências menores e combinar:
Logo
(Para prova, lembrar que
pode ser obtido multiplicando potências menores; acima mostrei uma cadeia prática que dá o valor numérico aproximado.)
Passo 5
Calcular
substituindo na fórmula:
Substituindo os valores que já achamos:
Calcule passo a passo:
Portanto
Passo 6
Agora a parte (b): “pelo menos duas flechas acertem” significa
. É muito comum e prático usar o complemento:
Vou calcular
e
.
Passo 7
Calcular
:
Usando cálculo por potências já conhecido:
Passo 8
Calcular
:
Note que
. Então
Agora
Passo 9
Somar
e
e tirar complemento:
Então
Em porcentagem isso é aproximadamente
.
Resposta
(a)
(b)
(b)