A probabilidade de um arqueiro acertar um alvo com uma única flecha é em geral igual a 20 \%, se o arqueiro lançar 30 flechas no alvo. Calcule a probabilidade de que:
a) exatamente quatro flechas acertem o alvo?
b)pelo menos duas flechas acertem o alvo?

Passo 1

O enunciado diz que a probabilidade de um arqueiro acertar o alvo com uma única flecha é 20\%. Ele atira 30 flechas. As perguntas são:
  • (a) Qual a probabilidade de que exatamente quatro flechas acertem o alvo?
  • (b) Qual a probabilidade de que pelo menos duas flechas acertem o alvo?
Informações relevantes dadas:
\text{nº de tentativas } n = 30º
\text{probabilidade de sucesso em cada tentativa } p = 20\% = 0,2
\text{probabilidade de fracasso em cada tentativa } q = 1-p = 0,8

Passo 2

Modelo que vamos usar (explicação didática). Quando temos um experimento com um número fixo n de tentativas independentes, cada tentativa com probabilidade p de sucesso e q=1-p de fracasso, o número de sucessos X segue uma distribuição binomial. A fórmula da probabilidade de ocorrer exatamente k sucessos é
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,q^{\,n-k}.
Aqui:
  • \binom{n}{k} é o número de maneiras diferentes de escolher quais k tentativas entre as n deram sucesso;
  • p^{k} é a probabilidade de que essas k escolhidas sejam todas sucessos;
  • q^{\,n-k} é a probabilidade de que as demais n-k sejam fracassos.
    Vou aplicar essa fórmula com n=30 e p=0,2.

Passo 3

Calcular \binom{30}{4} (explicando como calcular combinatória). A combinação é dada por
\binom{30}{4}=\frac{30\cdot29\cdot28\cdot27}{4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Faço a conta em etapas para ficar simples de fazer à mão:
30\cdot29=870,
870\cdot28=24\,360,
24\,360\cdot27=657\,720.
Denominador 4\cdot3\cdot2\cdot1=24. Então
\binom{30}{4}=\frac{657\,720}{24}=27\,405.

Passo 4

Preparar as potências de p e q que aparecem em P(X=4).
p^{4}=(0,2)^{4}=(0,2)^{2}\cdot(0,2)^{2}=0,04\cdot0,04=0,0016.
q^{26}=(0,8)^{26}.
Para calcular (0,8)^{26} é conveniente usar potências menores e combinar:
(0,8)^{5}=0,8^{5}=0,32768,
(0,8)^{10}=(0,8^{5})^{2}=0,32768^{2}=0,1073741824,
(0,8)^{20}=(0,8)^{10})^{2}=0,1073741824^{2}=0,011529215046068,
(0,8)^{6}=(0,8)^{5}\cdot0,8=0,32768\cdot0,8=0,262144.
Logo
(0,8)^{26}=(0,8)^{20}\cdot(0,8)^{6}=0,011529215046068\cdot0,262144\approx0,003020242.
(Para prova, lembrar que 0,8^{26} pode ser obtido multiplicando potências menores; acima mostrei uma cadeia prática que dá o valor numérico aproximado.)

Passo 5

Calcular P(X=4) substituindo na fórmula:
P(X=4)=\binom{30}{4}\,(0,2)^{4}\,(0,8)^{26}.
Substituindo os valores que já achamos:
P(X=4)=27\,405\cdot0,0016\cdot0,003020242\ldots
Calcule passo a passo:
0,0016\cdot0,003020242\approx0,0000048323872,
27\,405\cdot0,0000048323872\approx0,1324196.
Portanto
P(X=4)\approx0,1324196\quad(\text{aprox. }13,24\%).

Passo 6

Agora a parte (b): “pelo menos duas flechas acertem” significa P(X\ge2). É muito comum e prático usar o complemento:
P(X\ge2)=1-P(X\le1)=1-[P(X=0)+P(X=1)].
Vou calcular P(X=0) e P(X=1).

Passo 7

Calcular P(X=0):
P(X=0)=\binom{30}{0}(0,2)^{0}(0,8)^{30}=(0,8)^{30}.
Usando cálculo por potências já conhecido:
(0,8)^{30}=(0,8)^{26}\cdot(0,8)^{4}\approx0,003020242\cdot0,4096\approx0,001237091.

Passo 8

Calcular P(X=1):
P(X=1)=\binom{30}{1}(0,2)^{1}(0,8)^{29}=30\cdot0,2\cdot(0,8)^{29}.
Note que (0,8)^{29}=(0,8)^{30}/0,8. Então
(0,8)^{29}\approx\frac{0,001237091}{0,8}\approx0,001546364.
Agora
P(X=1)=30\cdot0,2\cdot0,001546364=6\cdot0,001546364\approx0,009278184.

Passo 9

Somar P(X=0) e P(X=1) e tirar complemento:
P(X=0)+P(X=1)\approx0,001237091+0,009278184\approx0,010515275.
Então
P(X\ge2)=1-0,010515275\approx0,989484725.
Em porcentagem isso é aproximadamente 98,95\%.

Resposta

(a) \;P(X=4)=\displaystyle \binom{30}{4}(0,2)^{4}(0,8)^{26}\approx0,132420
(b) \;P(X\ge2)=1-[P(X=0)+P(X=1)]\approx0,989485

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