Obtenha o valor do estimadors de variabilidade SC. Use duas casas decimais Obtenha o valor do estimadors de variabilidade \mathrm{S}_{\mathrm{C}}
Subgrupo Elemento do subgrupo
X_{i 1} \boldsymbol{X}_{\boldsymbol{i} \mathbf{2}} \boldsymbol{X}_{\boldsymbol{i} \mathbf{3}} \boldsymbol{X}_{\boldsymbol{i} \mathbf{4}} X_{i 5}
1 39,5 53,3 49,3 52,0 44,9
2 47,9 41,9 45,6 45,7 43,1
3 47,8 48,0 45,6 44,4 40,8
4 39,9 48,7 45,3 40,2 43,2
5 43,4 53,0 53,5 41,1 45,0
6 47,5 50,8 45,8 44,4 44,5
7 46,8 49,2 44,9 53,0 52,4
8 49,9 42,7 47,1 41,8 52,4

Passo 1

O enunciado pede para obter o valor do estimador de variabilidade \mathrm{S}_{\mathrm{C}} a partir de 8 subgrupos, cada um com 5 observações. Os dados fornecidos são (cada linha é um subgrupo com n=5 observações):
\begin{array}{l} \text{Subgrupo 1: }39{,}5,\;53{,}3,\;49{,}3,\;52{,}0,\;44{,}9\\\ \text{Subgrupo 2: }47{,}9,\;41{,}9,\;45{,}6,\;45{,}7,\;43{,}1\\\ \text{Subgrupo 3: }47{,}8,\;48{,}0,\;45{,}6,\;44{,}4,\;40{,}8\\\ \text{Subgrupo 4: }39{,}9,\;48{,}7,\;45{,}3,\;40{,}2,\;43{,}2\\\ \text{Subgrupo 5: }43{,}4,\;53{,}0,\;53{,}5,\;41{,}1,\;45{,}0\\\ \text{Subgrupo 6: }47{,}5,\;50{,}8,\;45{,}8,\;44{,}4,\;44{,}5\\\ \text{Subgrupo 7: }46{,}8,\;49{,}2,\;44{,}9,\;53{,}0,\;52{,}4\\\ \text{Subgrupo 8: }49{,}9,\;42{,}7,\;47{,}1,\;41{,}8,\;52{,}4 \end{array}
Informações relevantes: número de subgrupos k=8, tamanho de cada subgrupo n=5. Queremos o estimador de variabilidade pooled (comum) \mathrm{S}_{\mathrm{C}}.

Passo 2

Definição e fórmula que vamos usar.
  • Para cada subgrupo i calculamos a média do subgrupo \bar{x}_i e a soma dos quadrados dos desvios dentro do subgrupo
SS_i=\sum_{j=1}^{n}(x_{ij}-\bar{x}_i)^2.
  • A variância amostral do subgrupo é
s_i^2=\frac{SS_i}{n-1}.
  • O estimador pooled (comum) da variabilidade intra-subgrupo é
\mathrm{S}_{\mathrm{C}}=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{k}(n-1)s_i^2}{\sum_{i=1}^{k}(n-1)}}=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{k}SS_i}{k(n-1)}}.
Aqui \sum_{i=1}^{k}SS_i é a soma das somas de quadrados dentro de cada subgrupo e k(n-1) é o total de graus de liberdade dentro dos subgrupos. No nosso caso n-1=4 e k(n-1)=8\cdot4=32.
Agora vamos calcular passo a passo \bar{x}_i, SS_i para cada subgrupo, somar os SS_i, dividir por 32 e tirar a raiz quadrada.

Passo 3

Subgrupo 1:
\bar{x}_1=\frac{39{,}5+53{,}3+49{,}3+52{,}0+44{,}9}{5}=\frac{239{,}0}{5}=47{,}8.
Cálculo dos desvios ao quadrado e soma:
SS_1=(39{,}5-47{,}8)^2+(53{,}3-47{,}8)^2+(49{,}3-47{,}8)^2+(52{,}0-47{,}8)^2+(44{,}9-47{,}8)^2=127{,}44.

Passo 4

Subgrupo 2:
\bar{x}_2=\frac{47{,}9+41{,}9+45{,}6+45{,}7+43{,}1}{5}=\frac{224{,}2}{5}=44{,}84.
SS_2=(47{,}9-44{,}84)^2+\cdots+(43{,}1-44{,}84)^2=22{,}352.

Passo 5

Subgrupo 3:
\bar{x}_3=\frac{47{,}8+48{,}0+45{,}6+44{,}4+40{,}8}{5}=\frac{226{,}6}{5}=45{,}32.
SS_3=(47{,}8-45{,}32)^2+\cdots+(40{,}8-45{,}32)^2=34{,}688.

Passo 6

Subgrupo 4:
\bar{x}_4=\frac{39{,}9+48{,}7+45{,}3+40{,}2+43{,}2}{5}=\frac{217{,}3}{5}=43{,}46.
SS_4=(39{,}9-43{,}46)^2+\cdots+(43{,}2-43{,}46)^2=54{,}212.

Passo 7

Subgrupo 5:
\bar{x}_5=\frac{43{,}4+53{,}0+53{,}5+41{,}1+45{,}0}{5}=\frac{236{,}0}{5}=47{,}2.
SS_5=(43{,}4-47{,}2)^2+\cdots+(45{,}0-47{,}2)^2=129{,}82.

Passo 8

Subgrupo 6:
\bar{x}_6=\frac{47{,}5+50{,}8+45{,}8+44{,}4+44{,}5}{5}=\frac{233{,}0}{5}=46{,}6.
SS_6=(47{,}5-46{,}6)^2+\cdots+(44{,}5-46{,}6)^2=28{,}34.

Passo 9

Subgrupo 7:
\bar{x}_7=\frac{46{,}8+49{,}2+44{,}9+53{,}0+52{,}4}{5}=\frac{246{,}3}{5}=49{,}26.
SS_7=(46{,}8-49{,}26)^2+\cdots+(52{,}4-49{,}26)^2=48{,}912.

Passo 10

Subgrupo 8:
\bar{x}_8=\frac{49{,}9+42{,}7+47{,}1+41{,}8+52{,}4}{5}=\frac{233{,}9}{5}=46{,}78.
SS_8=(49{,}9-46{,}78)^2+\cdots+(52{,}4-46{,}78)^2=82{,}868.

Passo 11

Somamos todos os SS_i:
\sum_{i=1}^{8}SS_i=127{,}44+22{,}352+34{,}688+54{,}212+129{,}82+28{,}34+48{,}912+82{,}868=528{,}632.
O denominador é k(n-1)=8\cdot4=32. A variância pooled é
\widehat{\sigma}^2=\frac{\sum_{i=1}^{8}SS_i}{32}=\frac{528{,}632}{32}=16{,}520375.

Passo 12

O estimador de variabilidade é a raiz quadrada da variância pooled:
\mathrm{S}_{\mathrm{C}}=\sqrt{16{,}520375}\approx4{,}0644.
Arredondando para duas casas decimais (conforme pedido) obtemos \mathrm{S}_{\mathrm{C}}=4{,}06.

Resposta

\mathrm{S}_{\mathrm{C}}=4{,}06

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