Obtenha o valor da potência útil associada à agitação de um certo óleo essencial de origem amazônica ( \mu=38 \mathrm{cP} e \rho=0,92 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} ), sabendo-se que o impelidor é do tipo turbina de Rushton, que opera a 240rpm. O tanque agitado segue as medidas padrão e o nível de agitação é igual a 1,9 \mathrm{HP} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede que eu obtenha a potência útil associada à agitação do óleo. Dados fornecidos (vou listar exatamente o que tenho):
\mu=38\\ \text{cP},\qquad \rho=0,92\\ \text{g/cm}^3,
o impelidor é uma turbina de Rushton que opera a 240\\ \text{rpm}, o tanque “segue as medidas padrão” e o nível de agitação fornecido é
\text{nível de agitação} = 1{,}9\\ \text{HP/m}^3.íçã
Pergunta implícita: calcular a potência útil (valor numérico) associada à agitação do óleo no tanque. Observação importante: para obter a potência absoluta é necessário multiplicar o nível de agitação ( \text{HP/m}^3) pelo volume do líquido no tanque; o enunciado diz que o tanque segue medidas padrão, então vou explicitar e usar as medidas padrão adotadas em muitos exercícios de mistura (ver Passo 2). Também vou converter tudo para unidades do SI e verificar o regime (Reynolds) só para dar contexto didático.

Passo 2

Converter unidades para o SI:
\mu = 38\\ \text{cP} = 38\times 10^{-3}\\ \text{Pa}\cdot\text{s} = 0{,}038\\ \text{Pa}\cdot\text{s},
\rho = 0{,}92\\ \text{g/cm}^3 = 920\\ \text{kg/m}^3,
N = 240\\ \text{rpm} = \frac{240}{60}=4\\ \text{s}^{-1}.
Explicação breve do porquê: 1\\ \text{cP}=10^{-3}\\ \text{Pa}\cdot\text{s}; 1\\ \text{g/cm}^3=1000\\ \text{kg/m}^3; 1\\ \text{rpm}=1/60\\ \text{s}^{-1}.

Passo 3

Definir as “medidas padrão” do tanque (assunção padrão de muitos problemas didáticos):
  • diâmetro do tanque T = 0{,}30\\ \text{m},
  • diâmetro do impelidor d = T/3 = 0{,}10\\ \text{m},
  • altura de líquido H = T.
Justificativa: essas proporções ( d/T=1/3, H/T=1) são comumente usadas em problemas de bancada/laboratório como “medidas padrão”. Se o seu enunciado usar outras medidas padrão, troque T na conta; aqui uso T=0{,}30\\ \text{m} porque é um valor típico em exercícios.
Volume do tanque (cilíndrico):
V=\frac{\pi T^2 H}{4} \quad\text{e com }H=T\Rightarrow V=\frac{\pi T^3}{4}.
Substituindo T=0{,}30\\ \text{m}:
V=\frac{\pi(0{,}30)^3}{4}=\frac{\pi\cdot 0{,}027}{4}=\pi\cdot 0{,}00675\approx 0{,}021206\\ \text{m}^3.

Passo 4

Usar o nível de agitação para obter a potência útil total: nível de agitação é potência por volume, logo
P_u = \left(1{,}9\\ \frac{\text{HP}}{\text{m}^3}\right)\times V.
Substituindo V:
P_u = 1{,}9\times 0{,}021206\\ \text{HP}=0{,}0402914\\ \text{HP}.
Converter para Watt ( 1\\ \text{HP}=746\\ \text{W}):
P_u = 0{,}0402914\times 746\\ \text{W}\approx 30{,}05\\ \text{W}.
Interpretação: para o tanque padrão que adotei, a potência útil associada à agitação é aproximadamente 0{,}0403\\ \text{HP}, ou seja cerca de 30{,}0\\ \text{W}.

Passo 5

Verificação didática do regime de escoamento (para entender se a indicação de nível de agitação faz sentido):
usar número de Reynolds da agitação
\mathrm{Re}=\frac{\rho\,N\,d^2}{\mu},
onde \rho é a densidade ( \text{kg/m}^3), N a velocidade de rotação ( \text{s}^{-1}), d o diâmetro do impelidor ( \text{m}) e \mu a viscosidade dinâmica ( \text{Pa}\cdot\text{s}). Substituindo:
\mathrm{Re}=\frac{920\cdot 4\cdot (0{,}10)^2}{0{,}038} =\frac{920\cdot 4\cdot 0{,}01}{0{,}038} =\frac{36{,}8}{0{,}038}\approx 968.
Significado: \mathrm{Re}\approx 968 indica um regime transicional (nem puramente laminar nem plenamente turbulento). Em regime turbulento alto costuma-se usar um número de potência N_P quase constante (por exemplo N_P\sim 5 para turbina de Rushton em turbulento), e a potência seria dada por
P = N_P\,\rho\,N^3 d^5.
Se eu tentasse usar N_P\approx 6 (valor típico em turbulento) com nossos d,N obteria um P da ordem de alguns watts, inconsistente com os 30\\ \text{W} calculados a partir do nível de agitação — isso mostra que os dados (nível de agitação) podem ter sido especificados para outro tamanho de tanque ou que o “nível de 1{,}9\ HP/m^3)” é um parâmetro objetivo e deve ser diretamente multiplicado pelo volume real do tanque. Por isso é importante usar o volume correto do tanque real. Aqui apresentei a conta com a suposição padrão T=0{,}30\\ \text{m}.

Resposta

P_u = 0{,}0403\\ \text{HP} \approx 30{,}0\\ \text{W}

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