Uma turbina de seis pás (six-blade disk) é instalada no centro de um tanque de 2 m de diâmetro. A turbina tem diâmetro de 0,67 \mathrm{~m} e está posicionada 0,67 \mathrm{~m} acima do fundo do tanque. As pás da turbina têm 134 mm de largura. O tanque está preenchido desde o fundo com 2 m de uma solução aquosa de 50 \% de NaOH a 65^{\circ} \mathrm{C}, a qual tem uma viscosidade de 12 cP e massa específica de 1.500 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. O impelidor gira a 90 rpm . Qual é a potência útil necessária para a agitação?

Passo 1

O que o problema pede: calcular a potência útil necessária para agitação (potência entregue ao fluido) pela turbina.
Dados fornecidos (vou listar exatamente os valores do enunciado):
\begin{aligned} &\text{Diâmetro do tanque: } &&D_T = 2\\ \mathrm{m} \\\ &\text{Diâmetro da turbina: } &&D = 0{,}67\\ \mathrm{m} \\\ &\text{Posição acima do fundo: } &&\text{(distância do eixo ao fundo)} = 0{,}67\\ \mathrm{m} \\\ &\text{Largura das pás: } &&b = 0{,}134\\ \mathrm{m}\\ \text{(esta info é geométrica)} \\\ &\text{Altura de líquido: } &&H = 2\\ \mathrm{m} \\\ &\text{Composição/temperatura: } &&50\%\\ \mathrm{NaOH},\\\ 65^\circ\mathrm{C} \\\ &\text{Viscosidade absoluta: } &&\mu = 12\\ \mathrm{cP} = 0{,}012\\ \mathrm{Pa\cdot s} \\\ &\text{Massa específica: } &&\rho = 1{,}500\\ \mathrm{kg\!/m^3} \\\ &\text{Rotação: } &&90\\ \mathrm{rpm} = 1{,}5\\ \mathrm{s^{-1}} \end{aligned}ââçãâáééíçãíçã
O que precisamos encontrar:
\text{Potência útil de agitação } P \\ (\text{em watts ou kW})êúçã

Passo 2

Estratégia (explicação didática do método que vou usar, passo a passo):
  • Em agitação com turbinas, uma fórmula prática relaciona a potência hidráulica ao chamado número de potência N_p:
P = N_p\,\rho\,N^3\,D^5
onde:
  • P é a potência (W),
  • N_p é o número de potência adimensional (depende do tipo de impelidor e do regime de escoamento),
  • \rho é a densidade do fluido ( \mathrm{kg/m^3}),
  • N é a velocidade de rotação em \mathrm{s^{-1}},
  • D é o diâmetro do impelidor (m).
  • Para usar essa fórmula precisamos saber em que regime de escoamento estamos (laminar, de transição ou turbulento), porque N_p depende do número de Reynolds da agitação. Então o próximo passo é calcular o número de Reynolds da agitação e decidir o valor apropriado de N_p.

Passo 3

Cálculo do número de Reynolds da agitação e interpretação (aula curta sobre o conceito):
  • O número de Reynolds para agitação é uma grandeza adimensional que mede a razão entre forças inerciais e viscosas no escoamento causado pelo impelidor. A fórmula usada é
Re = \frac{\rho\,N\,D^2}{\mu}
onde:
  • \rho é a densidade ( \mathrm{kg/m^3}),
  • N é a rotação em \mathrm{s^{-1}},
  • D é o diâmetro do impelidor (m),
  • \mu é a viscosidade absoluta (Pa·s).
Agora substituímos os valores (conversões já feitas no Passo 1):
\begin{aligned} D^2 &= (0{,}67)^2 = 0{,}4489\\ \mathrm{m^2},\\[4pt] \rho\,N\,D^2 &= 1{,}500 \times 1{,}5 \times 0{,}4489 = 1{,}010{,}025\\ (\text{unidade: }\mathrm{kg/(m\cdot s)}) ,\\[4pt] Re &= \frac{1{,}010{,}025}{0{,}012} \approx 84\,169. \end{aligned}
Interpretação: \displaystyle Re \approx 8{,}4\times 10^{4}. Isso é muito maior que 10^{4}, portanto o escoamento está em regime turbulento totalmente desenvolvido. Nesse regime o número de potência N_p da turbina é aproximadamente constante (independente de Re).]

Passo 4

Escolha do valor de N_p (explicação e justificativa):
  • Para uma turbina de pás radiais tipo Rushton (com várias pás planas — por exemplo, seis pás), é comum usar um valor aproximado do número de potência
N_p \approx 5{,}0
no regime totalmente turbulento. O enunciado diz “six-blade disk”, que corresponde ao tipo de turbina com várias pás planas montadas em um disco (semelhante a Rushton). Por isso adotamos N_p=5{,}0. (Obs.: se o impelidor fosse outro tipo, N_p mudaria, mas para seis pás planas este valor é padrão.)

Passo 5

Cálculo da potência usando a fórmula e mostrando todos os passos numéricos:
  • Fórmula:
P = N_p\,\rho\,N^3\,D^5.
  • Calcule N^3:
N = 1{,}5\\ \mathrm{s^{-1}}\quad\Rightarrow\quad N^3 = (1{,}5)^3 = 3{,}375\\ \mathrm{s^{-3}}.
  • Calcule D^5:
D^5 = (0{,}67)^5 \approx 0{,}135012\\ \mathrm{m^5}.
  • Agora o produto interno antes de multiplicar por N_p:
\rho\,N^3\,D^5 = 1{,}500 \times 3{,}375 \times 0{,}135012 \approx 683{,}498\\ \mathrm{(kg\cdot m^2/s^3)=W}.
  • Finalmente multiplicamos por N_p=5{,}0:
P = 5{,}0 \times 683{,}498 \approx 3{,}417{,}49\\ \mathrm{W}.
  • Converter para kW (para resposta mais usual):
P \approx 3{,}417\\ \mathrm{W} = 3{,}42\\ \mathrm{kW}\\ (\text{arredondando a 3 dígitos significativos}).í

Passo 6

Comentário final e incertezas (rápida e direta, tipo dica de prova):
  • Resultado principal: aproximadamente 3{,}42\\ \mathrm{kW}.
  • Observação sobre precisão: a maior fonte de incerteza aqui é o valor assumido de N_p. Para turbinas semelhantes a Rushton em regime turbulento é razoável usar N_p\approx 5. Se o impelidor for geometricamente diferente, N_p poderia variar (por exemplo, entre \sim 3 e \sim 7), alterando a potência proporcionalmente.
  • De resto, cálculos e unidades foram mostrados passo a passo — na prova, explique que você calculou Re para justificar uso do N_p constante.

Resposta

P \approx 3{,}42\\ \mathrm{kW}

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