Obtenha os valores de m para que seja compatível e determinado o sistema
c x+y+z=5 m x+y+z=7 x+y+m z=2

Passo 1

Resumo do exercício: Temos um sistema de três equações com três incógnitas , e . Nosso objetivo é encontrar os valores de que fazem esse sistema ser compatível e determinado, ou seja, que tenha uma única solução. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente determinantes de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes do sistema, que é formada pelos números que acompanham as incógnitas nas equações:
A = 1 & 1 & 1 m & 1 & 1 1 & 1 & m

Passo 3

Para que o sistema seja compatível e determinado, o determinante dessa matriz det(A) = 1 cdot (1 cdot m - 1 cdot 1) - 1 cdot (m cdot m - 1 cdot 1) + 1 cdot (m cdot 1 - 1 cdot 1) precisa ser diferente de zero. Vamos calcular o determinante :

Passo 4

Simplificando os cálculos:
det(A) = 1 cdot (m - 1) - 1 cdot (m^2 - 1) + 1 cdot (m - 1)
det(A) = (m - 1) - (m^2 - 1) + (m - 1)
det(A) = -m^2 + 2m -1

Passo 5

Para que o sistema seja compatível e determinado, devemos ter -m^2 + 2m -1 neq 0 :
m^2 - 2m +1 neq 0
Multiplicando toda a inequação por (m - 1)^2 neq 0 para facilitar:
Fatorando:
O único valor que faz o lado esquerdo igual a zero é . Portanto, deve ser diferente de 1.

Resposta

Os valores de que tornam o sistema compatível e determinado são todos os números reais, exceto . Ou seja, .

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