Seja
um espaço vetorial com produto interno
. Dado um isomorfismo
, defina
para qualquer
. Prove que
é um produto interno em
.
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos dois espaços vetoriais:
e
, onde
possui um produto interno
. Também é dado um isomorfismo
, que é uma função linear bijetora entre esses espaços. Definimos um novo produto
para quaisquer
. Nossa tarefa é provar que esse novo produto
é um produto interno em
. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de produto interno, isomorfismo de espaços vetoriais e verificar as propriedades que caracterizam um produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um produto interno. Um produto interno em um espaço vetorial é uma função que, para quaisquer vetores
no espaço, satisfaz as seguintes propriedades:
- Positividade definida:
e se e somente se . - Linearidade no primeiro argumento: Para qualquer
no espaço e escalar , temos . - Simetria:
.
Para mostrar que
é um produto interno, precisamos verificar que essas três propriedades são satisfeitas para
.
Passo 3
Propriedade 1: Positividade definida
Vamos verificar que
e que
se e somente se
.
Como
e
é um produto interno em
, sabemos que
.
Além disso,
se e somente se
. Mas
é um isomorfismo, ou seja, é bijetor e, portanto,
implica que
. Portanto, a propriedade de positividade definida está satisfeita.
Passo 4
Propriedade 2: Linearidade no primeiro argumento
Queremos mostrar que para quaisquer
e escalar
, temos:
Vamos calcular:
Como
é linear, temos
. Então:
Portanto, a propriedade de linearidade no primeiro argumento está satisfeita.
Passo 5
Propriedade 3: Simetria
Precisamos mostrar que
para quaisquer
.
Calculemos:
Como o produto interno em
é simétrico, temos
, ou seja,
.
Portanto, a propriedade de simetria está satisfeita.
Resposta
Assim, verificamos que
satisfaz todas as propriedades de um produto interno. Portanto,
é um produto interno em
.