Sejam alpha=u1=(1,1,-2), u2=(0,1,1), u3=(2,1,0) e beta=v1, v2, v3 bases do R^3 tais que v1=u1-u2-2 u3, v2=u1+2 u2-2 u3 e v3=u1+u2-u3.
(a) Determine a matriz de mudança de base, da base alpha para a base beta.

Passo 1

Ok, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas bases de , chamadas e . A base é formada pelos vetores , e , e a base é formada por , e , que são combinações lineares dos vetores de . A tarefa é encontrar a matriz de mudança de base que faz a transição da base para a base .

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que é uma matriz de mudança de base. Basicamente, ela nos ajuda a converter as coordenadas de um vetor de uma base para outra. No nosso caso, queremos converter as coordenadas da base para a base .

Passo 3

Para construir a matriz de mudança de base, vamos expressar cada vetor da base v1 = u1 - u2 - 2u3 em termos dos vetores da base v2 = u1 + 2u2 - 2u3 . Já temos essas expressões no enunciado:
v3 = u1 + u2 - u3
Essas combinações lineares nos dão as coordenadas de , e na base .

Passo 4

Agora, vamos organizar essas coordenadas em colunas para formar a matriz de mudança de base. Cada coluna da matriz será composta pelos coeficientes das combinações lineares que expressam os vetores de P = 1 & 1 & 1 -1 & 2 & 1 -2 & -2 & -1 em termos de .
Então, temos:
Aqui, a primeira coluna corresponde a , a segunda coluna corresponde a e a terceira coluna corresponde a .

Resposta

A matriz de mudança de base da base P = 1 & 1 & 1 -1 & 2 & 1 -2 & -2 & -1 para a base é:

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