Obtenha y^prime=d yd x sabendo que y=f(x).
y=raiz[4]arctan e^x

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função y=√[4]{arctan(e^x)} e queremos calcular y’=dy/dx. O conteúdo é derivada de função composta, então vamos precisar usar a regra da cadeia.

Passo 2

Aplicação da regra da cadeia: definimos u=arctan(e^x) e reescrevemos y=u^{1/4}. Pela regra da cadeia, temos dydx=dyducdotdudx.

Passo 3

Cálculo de dy/du: como y=u^{1/4}, deriva-se potências para obter dydu=14u^-3/4.

Passo 4

Cálculo de du/dx: u=arctan(e^x) é composta. Seja v=e^x, então dudv=11+v^2 e dvdx=e^x. Logo dudx=e^x1+e^2x.

Passo 5

Substituindo e simplificando todos os fatores da cadeia, fica dydx=14u^-3/4cdote^x1+e^2x com u=arctan(e^x), resultando em dydx=e^x4(1+e^2x)(arctan(e^x))^3/4.

Resposta

y' = e^x4,(1+e^2x),l(arctan(e^x)r)^3/4

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