Calcule os limites abaixo. Utilize a regra de LHôpital se necessário, mas antes de aplicar a regra, indique o tipo de indeterminação.
lim x 0^- f(x)x, sabendo que f(x) é contínua e que cos x <= f(x) <= x^2+1.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de limxto0^-f(x)x, sabendo que f(x) é contínua e satisfaz cos x<= f(x)<= x^2+1. Vamos usar teoria de limites, indicação do tipo de indeterminação e, se preciso, a regra de L’Hôpital, mas antes ver se conseguimos sem ela.

Passo 2

Pela desigualdade cos x<= f(x)<= x^2+1 e tomando xto0, temos
limxto0cos x =1, limxto0(x^2+1)=1,
e como f é contínua,
$$
f(0)=1\quade\quad\lim_{x\to0}f(x)=1.
$$

Passo 3

Para o quociente, o numerador tende a 1 e o denominador tende a 0 pelo lado negativo, isto é, forma 1/0^-, que não é indeterminação mas sim um limite infinito ( pminfty).
Como x<0 quando xto0^-, ao dividir a cadeia cos x<= f(x)<= x^2+1 por x invertemos as desigualdades:
x^2+1x<= f(x)x<= cos xx

Passo 4

Agora avaliamos os limites das duas funções de limite inferior e superior:
limxto0^-x^2+1x=,limxto0^-l(x+1xr)=-infty,
limxto0^-cos xx=10^-=-infty

Passo 5

Como ambas as funções-limite dos extremos vão a -infty, pelo teorema do confronto segue
limxto0^-f(x)x=-infty

Resposta

-\infty

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