Calcule os limites abaixo. Utilize a regra de LHôpital se necessário, mas antes de aplicar a regra, indique o tipo de indeterminação.
, sabendo que
é contínua e que
.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo de
, sabendo que
é contínua e satisfaz
. Vamos usar teoria de limites, indicação do tipo de indeterminação e, se preciso, a regra de L’Hôpital, mas antes ver se conseguimos sem ela.
Passo 2
Pela desigualdade
e tomando
, temos
e como
$$
f(0)=1\quade\quad\lim_{x\to0}f(x)=1.
$$
Passo 3
Para o quociente, o numerador tende a 1 e o denominador tende a 0 pelo lado negativo, isto é, forma
, que não é indeterminação mas sim um limite infinito (
).
Como quando
, ao dividir a cadeia
por
invertemos as desigualdades:
Como
Passo 4
Agora avaliamos os limites das duas funções de limite inferior e superior:
Passo 5
Como ambas as funções-limite dos extremos vão a
, pelo teorema do confronto segue
Resposta
-\infty