Encontre a série de Taylor da função f(x)=ln (x+1) em torno do ponto x=0. Encontre o raio e o intervalo de convergência, justificando as respostas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a série de Taylor da função $ f(x) = \ln(x + 1) $ em torno do ponto $ x = 0 $. Também precisamos descobrir o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente sobre séries de potências e suas condições de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Taylor. É uma representação de uma função como uma soma infinita de termos calculados a partir das derivadas da função em um ponto específico. No nosso caso, queremos expandir $ \ln(x + 1) $ em torno de $ x = 0 $.

Passo 3

A fórmula geral da série de Taylor de uma função $ f(x) $ em torno de $ x = a $ é:
f(x)
Como queremos expandir em torno de $ x = 0 $, $ a = 0 $, então a fórmula fica:
x = a

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de $ f(x) = \ln(x + 1) $ e avaliar em $ x = 0 $:
  1. Primeira derivada:
    f(x) = ln(x + 1)
    Avaliada em $ x = 0 $:
    x = 0
  2. Segunda derivada:
    f'(x) = 1x + 1
    Avaliada em $ x = 0 $:
    x = 0
  3. Terceira derivada:
    f'(0) = 1
    Avaliada em $ x = 0 $:
    f''(x) = -1(x + 1)^2
E assim por diante. Observamos um padrão nas derivadas.

Passo 5

Observando o padrão das derivadas, podemos generalizar a $ n $-ésima derivada de $ f(x) $:
n
Avaliada em $ x = 0 $:
f(x)

Passo 6

Substituindo as derivadas na fórmula da série de Taylor, temos:
ln(x + 1) = sumn=1^infty f^(n)(0)n!x^n = sumn=1^infty (-1)^n-1 cdot (n-1)!n!x^n
Simplificando $ \frac{(n-1)!}{n!} = \frac{1}{n} $, a série fica:
(n-1)!n! = 1n

Passo 7

Agora, vamos identificar o raio de convergência da série. Para isso, usamos o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar para quais valores de $ x $ a série converge.
Considerando o termo geral:
x
Aplicamos o teste da razão:
an = (-1)^n-1nx^n
Para a série convergir, esse limite deve ser menor que 1:
limn to infty | an+1an | = limn to infty | (-1)^nn+1x^n+1(-1)^n-1nx^n | = limn to infty | -nn+1 x | = |x|
Então, o raio de convergência é $ R = 1 $.

Passo 8

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que o raio é 1, então inicialmente temos $ -1 < x < 1 $. Precisamos verificar o comportamento da série nos extremos desse intervalo, ou seja, em $ x = -1 $ e $ x = 1 $.
  1. Em $ x = 1 $:
    -1 < x < 1
    Essa é a série alternada harmônica, que converge.
  2. Em $ x = -1 $:
    x = -1
    Isso simplifica para $ -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} $, que é a série harmônica, conhecida por divergir.

Resposta

A série de Taylor de $ f(x) = \ln(x + 1) $ em torno de $ x = 0 $ é:
f(x) = ln(x + 1)
O raio de convergência é $ R = 1 $ e o intervalo de convergência é $ -1 < x \leq 1 $.

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