Encontre a série de Taylor da função
em torno do ponto
. Encontre o raio e o intervalo de convergência, justificando as respostas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a série de Taylor da função $ f(x) = \ln(x + 1) $ em torno do ponto $ x = 0 $. Também precisamos descobrir o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente sobre séries de potências e suas condições de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Taylor. É uma representação de uma função como uma soma infinita de termos calculados a partir das derivadas da função em um ponto específico. No nosso caso, queremos expandir $ \ln(x + 1) $ em torno de $ x = 0 $.
Passo 3
A fórmula geral da série de Taylor de uma função $ f(x) $ em torno de $ x = a $ é:
Como queremos expandir em torno de $ x = 0 $, $ a = 0 $, então a fórmula fica:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de $ f(x) = \ln(x + 1) $ e avaliar em $ x = 0 $:
-
Primeira derivada:Avaliada em $ x = 0 $:
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Segunda derivada:Avaliada em $ x = 0 $:
-
Terceira derivada:Avaliada em $ x = 0 $:
E assim por diante. Observamos um padrão nas derivadas.
Passo 5
Observando o padrão das derivadas, podemos generalizar a $ n $-ésima derivada de $ f(x) $:
Avaliada em $ x = 0 $:
Passo 6
Substituindo as derivadas na fórmula da série de Taylor, temos:
Simplificando $ \frac{(n-1)!}{n!} = \frac{1}{n} $, a série fica:
Passo 7
Agora, vamos identificar o raio de convergência da série. Para isso, usamos o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar para quais valores de $ x $ a série converge.
Considerando o termo geral:
Aplicamos o teste da razão:
Para a série convergir, esse limite deve ser menor que 1:
Então, o raio de convergência é $ R = 1 $.
Passo 8
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que o raio é 1, então inicialmente temos $ -1 < x < 1 $. Precisamos verificar o comportamento da série nos extremos desse intervalo, ou seja, em $ x = -1 $ e $ x = 1 $.
-
Em $ x = 1 $:
-1 < x < 1 Essa é a série alternada harmônica, que converge. -
Em $ x = -1 $:
x = -1 Isso simplifica para $ -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} $, que é a série harmônica, conhecida por divergir.
Resposta
A série de Taylor de $ f(x) = \ln(x + 1) $ em torno de $ x = 0 $ é:
O raio de convergência é $ R = 1 $ e o intervalo de convergência é $ -1 < x \leq 1 $.