Obter f(t) por meio da transformada inversa de Laplace, utilizando expansão em frações parciais
F(s)=\frac{s(s+2)}{s^{2}(s+1)(s+3)}

Passo 1

Enunciado: obter f(t) por meio da transformada inversa de Laplace, usando expansão em frações parciais, onde é dado
F(s)=\frac{s(s+2)}{s^{2}(s+1)(s+3)}.
O que é pedido: encontrar a função f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s). Informações relevantes dadas:
  • O numerador é \;s(s+2)=s^{2}+2s.
  • O denominador é \;s^{2}(s+1)(s+3), fatorado em pólos s=0 (multiplicidade 2), s=-1 e s=-3.
  • A função racional é própria (grau do numerador =2, grau do denominador =4), então podemos usar diretamente frações parciais.

Passo 2

Forma da decomposição em frações parciais: como há um pólo de ordem 2 em s=0 e pólos simples em s=-1 e s=-3, escrevemos
\frac{s(s+2)}{s^{2}(s+1)(s+3)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}}+\frac{C}{s+1}+\frac{D}{s+3},
onde A,B,C,D são constantes a determinar.
Breve explicação: para um pólo simples em s=-a usamos termo \dfrac{\text{const}}{s+a}; para um pólo de ordem 2 em s=0 precisamos de termos \dfrac{A}{s}+\dfrac{B}{s^{2}}. Isso garante que a soma das frações reproduza o polinômio original quando colocadas sobre um denominador comum.

Passo 3

Eliminar denominadores multiplicando ambos os lados por s^{2}(s+1)(s+3). Obtemos a identidade polinomial
s(s+2) = A\;s\,(s+1)(s+3) + B\;(s+1)(s+3) + C\;s^{2}(s+3) + D\;s^{2}(s+1).
Esta igualdade vale para todo s. Agora vamos determinar A,B,C,D escolhendo valores convenientes de s e, se necessário, comparando coeficientes.

Passo 4

Determinação de B usando s=0. Substituindo s=0 na identidade:
0\cdot(0+2)=B\;(0+1)(0+3) \quad\Rightarrow\quad 0 = 3B \quad\Rightarrow\quad B=0.

Passo 5

Determinação de C usando s=-1. Substituindo s=-1:
(-1)((-1)+2)=C\;(-1)^{2}((-1)+3) \quad\Rightarrow\quad -1 = C\cdot 1\cdot 2 \quad\Rightarrow\quad C=-\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Determinação de D usando s=-3. Substituindo s=-3:
(-3)((-3)+2)=D\;(-3)^{2}((-3)+1) \quad\Rightarrow\quad 3 = D\cdot 9\cdot(-2) \quad\Rightarrow\quad 3 = -18D \quad\Rightarrow\quad D=-\tfrac{1}{6}.

Passo 7

Determinação de A. Já temos B=0, C=-\tfrac{1}{2}, D=-\tfrac{1}{6}. Para achar A podemos escolher qualquer valor conveniente de s diferente dos pólos; uso s=1. Substituindo na identidade original:
1\cdot(1+2)=A\cdot 1\cdot(1+1)(1+3) + B\cdot(1+1)(1+3) + C\cdot 1^{2}(1+3) + D\cdot 1^{2}(1+1).
Como B=0, isso vira
3 = A\cdot (1\cdot 2\cdot 4) + C\cdot 4 + D\cdot 2.
Substituindo C=-\tfrac{1}{2} e D=-\tfrac{1}{6}:
3 = 8A + 4\left(-\tfrac{1}{2}\right) + 2\left(-\tfrac{1}{6}\right) = 8A -2 -\tfrac{1}{3}.
Somando 2+\tfrac{1}{3}=\tfrac{7}{3} aos dois lados:
3 + \tfrac{7}{3} = 8A \quad\Rightarrow\quad \tfrac{16}{3}=8A \quad\Rightarrow\quad A=\tfrac{2}{3}.

Passo 8

Escrevendo a decomposição encontrada:
\frac{s(s+2)}{s^{2}(s+1)(s+3)}=\frac{2/3}{s}+\frac{0}{s^{2}}-\frac{1/2}{s+1}-\frac{1/6}{s+3}.
Ou simplificando (retirando o termo nulo):
F(s)=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{s}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s+1}-\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{s+3}.

Passo 9

Lembrando transformadas inversas básicas e linearidade:
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s}\right\}(t)=1 para t\ge 0.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s+a}\right\}(t)=e^{-a t} para t\ge 0.
    Pela linearidade, cada termo da decomposição tem inversa simples.

Resposta

f(t)=\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{2}e^{-t}-\dfrac{1}{6}e^{-3t},\quad t\ge 0

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