Obter
por meio da transformada inversa de Laplace, utilizando expansão em frações parciais
Passo 1
Enunciado: obter
por meio da transformada inversa de Laplace, usando expansão em frações parciais, onde é dado
O que é pedido: encontrar a função
tal que
. Informações relevantes dadas:
- O numerador é
. - O denominador é
, fatorado em pólos (multiplicidade 2), e . - A função racional é própria (grau do numerador
, grau do denominador ), então podemos usar diretamente frações parciais.
Passo 2
Forma da decomposição em frações parciais: como há um pólo de ordem 2 em
e pólos simples em
e
, escrevemos
onde
são constantes a determinar.
Breve explicação: para um pólo simples em
usamos termo
; para um pólo de ordem 2 em
precisamos de termos
. Isso garante que a soma das frações reproduza o polinômio original quando colocadas sobre um denominador comum.
Passo 3
Eliminar denominadores multiplicando ambos os lados por
. Obtemos a identidade polinomial
Esta igualdade vale para todo
. Agora vamos determinar
escolhendo valores convenientes de
e, se necessário, comparando coeficientes.
Passo 4
Determinação de
usando
. Substituindo
na identidade:
Passo 5
Determinação de
usando
. Substituindo
:
Passo 6
Determinação de
usando
. Substituindo
:
Passo 7
Determinação de
. Já temos
,
,
. Para achar
podemos escolher qualquer valor conveniente de
diferente dos pólos; uso
. Substituindo na identidade original:
Como
, isso vira
Substituindo
e
:
Somando
aos dois lados:
Passo 8
Escrevendo a decomposição encontrada:
Ou simplificando (retirando o termo nulo):
Passo 9
Lembrando transformadas inversas básicas e linearidade:
-
para . -
para .
Pela linearidade, cada termo da decomposição tem inversa simples.