Obter
por meio da transformada inversa de Laplace, utilizando expansão em frações parciais
Passo 1
O enunciado pede para obter
— a transformada inversa de Laplace — da função
Informações dadas:
- A função
é uma razão de polinômios em . - É preciso usar expansão em frações parciais (foi pedido explicitamente).
O objetivo final é escrever.
Passo 2
Verificação inicial e estratégia (sem resolver ainda): o numerador tem grau
e o denominador tem grau
, ou seja,
é uma função imprópria. Antes de fazer frações parciais é preciso dividir polinômios para transformar
em uma soma de um polinômio em
(termo “inteiro”) mais uma fração própria cuja ordem do numerador é menor que a do denominador. Vou fazer essa divisão de polinômios passo a passo.
Passo 3
Divisão polinomial de
(lembre que
):
Primeiro termo do quociente:
. Multiplicando:
Subtraindo do numerador:
Trazer os termos seguintes: resto parcial
.
Segundo termo do quociente:
. Multiplicando:
Subtraindo:
Trazer os termos seguintes: resto parcial
.
Terceiro termo do quociente:
. Multiplicando:
Subtraindo:
Trazer o termo constante: resto final
.
Logo o quociente é
e o resto é
. Assim
Passo 4
Agora fazemos a expansão em frações parciais da parte própria
. Supomos
Multiplicando por
obtemos
Igualando coeficientes: coeficiente de
:
. termo constante:
.
Portanto e
.
Portanto
Assim a decomposição é
Passo 5
Reescrevendo
com as frações parciais encontradas:
Agora vamos aplicar a transformada inversa termo a termo. Preciso lembrar (e explicar) as transformadas inversas usadas:
-
Para funções racionais próprias clássicas:
-
, a função degrau unitário (normalmente escrevemos simplesmente para ); aqui escrevo para ser rigoroso. -
.
-
-
Para potências de
inteiras não-negativas ocorre algo que nem sempre aparece nos exercícios elementares, então explico com calma: termos polinomiais em correspondem a distribuições (delta de Dirac e suas derivadas) no tempo. As identidades clássicas são em queé a -ésima derivada da distribuição de Dirac. Assim, (no sentido de distribuições, concentrado em ). Em particular: -
, -
, -
.
-
Se isso for novidade, a intuição rápida: fatores de
na parte de
-domain correspondem a derivadas em
aplicadas a impulsos no tempo
; são termos concentrados em
, não funções regulares para
.
Passo 6
Aplicando a inversa a cada termo de
obtemos, usando as regras acima:
-
, -
, -
, -
, -
.
Juntando e respeitando o sinal do último termo:
Uma forma comum (e aceitável) de escrever, omitindo o
sobre os termos que já são entendidos como definidos para
, é
mas a notação com
deixa explícito o suporte causal.