Obter f(t) por meio da transformada inversa de Laplace, utilizando expansão em frações parciais
F(s)=\frac{s^{4}+2 s^{3}+3 s^{2}+4 s+5}{s(s+1)}

Passo 1

O enunciado pede para obter f(t) — a transformada inversa de Laplace — da função
F(s)=\frac{s^{4}+2 s^{3}+3 s^{2}+4 s+5}{s(s+1)}.
Informações dadas:
  • A função F(s) é uma razão de polinômios em s.
  • É preciso usar expansão em frações parciais (foi pedido explicitamente).
    O objetivo final é escrever f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}.

Passo 2

Verificação inicial e estratégia (sem resolver ainda): o numerador tem grau 4 e o denominador tem grau 2, ou seja, F(s) é uma função imprópria. Antes de fazer frações parciais é preciso dividir polinômios para transformar F(s) em uma soma de um polinômio em s (termo “inteiro”) mais uma fração própria cuja ordem do numerador é menor que a do denominador. Vou fazer essa divisão de polinômios passo a passo.

Passo 3

Divisão polinomial de \dfrac{s^{4}+2 s^{3}+3 s^{2}+4 s+5}{s^{2}+s} (lembre que s(s+1)=s^{2}+s):
Primeiro termo do quociente: \dfrac{s^{4}}{s^{2}}=s^{2}. Multiplicando:
s^{2}\cdot(s^{2}+s)=s^{4}+s^{3}.
Subtraindo do numerador:
(s^{4}+2s^{3})-(s^{4}+s^{3})=s^{3}.
Trazer os termos seguintes: resto parcial s^{3}+3s^{2}+4s+5.
Segundo termo do quociente: \dfrac{s^{3}}{s^{2}}=s. Multiplicando:
s\cdot(s^{2}+s)=s^{3}+s^{2}.
Subtraindo:
(s^{3}+3s^{2})-(s^{3}+s^{2})=2s^{2}.
Trazer os termos seguintes: resto parcial 2s^{2}+4s+5.
Terceiro termo do quociente: \dfrac{2s^{2}}{s^{2}}=2. Multiplicando:
2\cdot(s^{2}+s)=2s^{2}+2s.
Subtraindo:
(2s^{2}+4s)-(2s^{2}+2s)=2s.
Trazer o termo constante: resto final 2s+5.
Logo o quociente é s^{2}+s+2 e o resto é 2s+5. Assim
F(s)=s^{2}+s+2+\frac{2s+5}{s(s+1)}.

Passo 4

Agora fazemos a expansão em frações parciais da parte própria \dfrac{2s+5}{s(s+1)}. Supomos
\frac{2s+5}{s(s+1)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}.
Multiplicando por s(s+1) obtemos
2s+5 = A(s+1)+Bs = (A+B)s + A.
Igualando coeficientes: coeficiente de s: 2 = A+B. termo constante: 5 = A.
Portanto A=5 e B=2-A=2-5=-3.
Assim a decomposição é
\frac{2s+5}{s(s+1)}=\frac{5}{s}-\frac{3}{s+1}.

Passo 5

Reescrevendo F(s) com as frações parciais encontradas:
F(s)=s^{2}+s+2+\frac{5}{s}-\frac{3}{s+1}.
Agora vamos aplicar a transformada inversa termo a termo. Preciso lembrar (e explicar) as transformadas inversas usadas:
  • Para funções racionais próprias clássicas:
    • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s}\right\}=u(t), a função degrau unitário (normalmente escrevemos simplesmente 1 para t>0); aqui escrevo u(t) para ser rigoroso.
    • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s+1}\right\}=e^{-t}u(t).
  • Para potências de s inteiras não-negativas ocorre algo que nem sempre aparece nos exercícios elementares, então explico com calma: termos polinomiais em s correspondem a distribuições (delta de Dirac e suas derivadas) no tempo. As identidades clássicas são
    \mathcal{L}\{\delta(t)\}=1,\qquad \mathcal{L}\{\delta'(t)\}=s,\qquad \mathcal{L}\{\delta''(t)\}=s^{2},
    em que \delta^{(n)}(t) é a n-ésima derivada da distribuição de Dirac. Assim, \mathcal{L}^{-1}\{s^{n}\}=\delta^{(n)}(t) (no sentido de distribuições, concentrado em t=0). Em particular:
    • \mathcal{L}^{-1}\{s^{2}\}=\delta''(t),
    • \mathcal{L}^{-1}\{s\}=\delta'(t),
    • \mathcal{L}^{-1}\{1\}=\delta(t).
Se isso for novidade, a intuição rápida: fatores de s na parte de s-domain correspondem a derivadas em t aplicadas a impulsos no tempo t=0; são termos concentrados em t=0, não funções regulares para t>0.

Passo 6

Aplicando a inversa a cada termo de
F(s)=s^{2}+s+2+\frac{5}{s}-\frac{3}{s+1}
obtemos, usando as regras acima:
  • \mathcal{L}^{-1}\{s^{2}\}=\delta''(t),
  • \mathcal{L}^{-1}\{s\}=\delta'(t),
  • \mathcal{L}^{-1}\{2\}=2\delta(t),
  • \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{5}{s}\}=5\,u(t),
  • \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{3}{s+1}\}=3e^{-t}u(t).
Juntando e respeitando o sinal do último termo:
f(t)=\delta''(t)+\delta'(t)+2\delta(t)+5\,u(t)-3e^{-t}u(t).
Uma forma comum (e aceitável) de escrever, omitindo o u(t) sobre os termos que já são entendidos como definidos para t\ge0, é
f(t)=\delta''(t)+\delta'(t)+2\delta(t)+5-3e^{-t}\quad (t\ge0),
mas a notação com u(t) deixa explícito o suporte causal.

Resposta

\displaystyle f(t)=\delta''(t)+\delta'(t)+2\delta(t)+5\,u(t)-3e^{-t}u(t)

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