Esboce o diagrama de polos e zeros de cada um dos sistemas e classifique quanto à estabilidade.
Considere as seguintes funções de transferência para as Questões 3, 4 e 5.
a) 2 s-1s^2-5 s+6
b) s+3s^2+2 s
c) (s+1)(s+3)(s+2)(s+2)(s-2)
d) 4s^2+2 s+3
e) s^2+2 s+1.25s^3+s^2-4 s-4
f) 10s^2+2 s-2

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente “esboçar” (ou seja, desenhar mentalmente ou num papel) o diagrama de polos e zeros de seis funções de transferência e, a partir disso, dizer se cada sistema é estável, marginalmente estável ou instável. O conteúdo aqui é de sistemas lineares no domínio de Laplace: a gente precisa fatorar numerador (procurar zeros) e denominador (procurar polos), marcar cada um no plano complexo (eixo real vs. imaginário) e lembrar a regra básica de estabilidade:
  • Se todos os polos têm parte real negativa, é estável.
  • Se algum polo tiver parte real positiva, é instável.
  • Se tiver polo exatamente na parte real zero (e nenhum em RHP), é marginalmente estável.

Passo 2

Função a)
Ha(s)=2,s-1s^2-5,s+6,
1) Numerador: → zero em .
2) Denominador: → polos em e .
3) Diagrama (eixo real):
• zero (○) em
• polos (×) em e
4) Classificação: como há polos em , instável.

Passo 3

Função b)
Hb(s)=s+3s^2+2,s=s+3s(s+2),
1) Zero em .
2) Polos em e .
3) Diagrama:
• zero (○) em
• polos (×) em (origem) e
4) Classificação: polo em marginalmente estável (não é estritamente estável).

Passo 4

Função c)
Hc(s)=(s+1)(s+3)(s+2)^2,(s-2),
1) Zeros em e .
2) Polos: pólo duplo em e outro em .
3) Diagrama:
• zeros (○) em ,
• polos (×) em (duplo) e
4) Classificação: tem polo em instável.

Passo 5

Função d)
Hd(s)=4s^2+2,s+3,
1) Polos: resolver s=-1pm jraiz2,
  1. Não há zeros (numerador é constante).
  2. Diagrama: polos (×) em .
  3. Classificação: ambos têm parte real estável.

Passo 6

Função e)
He(s)=s^2+2,s+1.25s^3+s^2-4,s-4,
1) Zeros: s=-1pm j0.5,
s^2(s+1)-4(s+1)=(s+1)(s^2-4)=(s+1)(s-2)(s+2),
  1. Polos: fatorar :
    Então polos em .
    3) Diagrama:
    • zeros (○) em
    • polos (×) em , ,
    4) Classificação: polo em instável.

Passo 7

Função f)
Hf(s)=10s^2+2,s-2,
1) Polos: resolver s=-2pmraiz4+82=-1pmraiz3,
Numericamente, e .
2) Não há zeros.
3) Diagrama:
• polos (×) em e .
4) Classificação: há polo em instável.

Resposta

a) instável
b) marginalmente estável
c) instável
d) estável
e) instável
f) instável

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