a) Verifique se o sistema é controlável.
b) Projete um controlador por realimentação de estados u(t) = -K x(t), de modo que os polos em malha fechada fiquem em -2 e -4.
Passo 1
O enunciado dá um sistema do tipo estado-espaço e pede duas coisas: (a) verificar controlabilidade; (b) projetar um controlador via realimentação de estados u(t)=-Kx(t) que coloque os polos em malha fechada em -2 e -4.
Informações fornecidas (assumindo a notação padrão \dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t); o enunciado usa z e u de forma ambígua, por isso adoto x como vetor de estados):
(b) Encontrar a matriz ganho K (linha) tal que o fechamento de malha com u(t)=-Kx(t) resulte em polos em -2 e -4.]
Passo 2
Conceito e procedimento prático para testar controlabilidade (passo-a-passo didático).
Explicação do conceito: um sistema linear \dot{x}=Ax+Bu é controlável se, partindo de qualquer estado inicial, existe um sinal de controle u(t) que leva o sistema a qualquer estado desejado num tempo finito. Matematicamente, para sistemas de dimensão n verifica-se a controlabilidade calculando a matriz de controlabilidade
O sistema é controlável se \operatorname{rank}(\mathcal{C})=n. Para n=2 basta verificar que as duas colunas B e AB são linearmente independentes (determinante não nulo).
Verificar se \mathcal{C} tem posto 2 calculando o determinante (para 2\times2 isso é suficiente).
Calcule o determinante:
\det(\mathcal{C}) = 0\cdot(-3) - 1\cdot 1 = -1.
Como \det(\mathcal{C})=-1\neq 0, temos \operatorname{rank}(\mathcal{C})=2. Portanto o sistema é controlável.
Breve interpretação: as colunas B e AB são linearmente independentes, logo com entradas apropriadas de u(t) é possível excitar ambas as direções do espaço de estados.
Passo 5
Método para projetar K por colocação de polos (explicação didática).
Quando aplicamos realimentação de estados u=-Kx (com K sendo um vetor linha K=\begin{bmatrix}k_1 & k_2\end{bmatrix}), a dinâmica em malha fechada fica
\dot{x}=(A-BK)x.
Os polos em malha fechada são os autovalores da matriz A-BK, ou seja, as raízes do polinômio característico \det\big(sI-(A-BK)\big). O objetivo é escolher K de modo que esse polinômio seja o polinômio desejado cujas raízes são os polos exigidos. Para n=2 é prático igualar os coeficientes dos polinômios quadráticos.
Passo prático: escrevemos K=\begin{bmatrix}k_1 & k_2\end{bmatrix} e calculamos a forma de \det(sI-(A-BK)); em seguida igualamos aos coeficientes do polinômio desejado.
Passo 6
Determinar o polinômio desejado e escrever A-BK.
Polos desejados: -2 e -4. O polinômio desejado (em s) é
(s+2)(s+4)=s^2+6s+8.
Agora escrevemos A-BK. Com K=\begin{bmatrix}k_1 & k_2\end{bmatrix} temos