1. (0,4pts) Dado o sistema:
    \dot{u}(t)=\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\\\ -2 & -3\end{array}\right] z(t)+\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1\end{array}\right] u(t)
a) Verifique se o sistema é controlável.
b) Projete um controlador por realimentação de estados u(t) = -K x(t), de modo que os polos em malha fechada fiquem em -2 e -4.

Passo 1

O enunciado dá um sistema do tipo estado-espaço e pede duas coisas: (a) verificar controlabilidade; (b) projetar um controlador via realimentação de estados u(t)=-Kx(t) que coloque os polos em malha fechada em -2 e -4.
Informações fornecidas (assumindo a notação padrão \dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t); o enunciado usa z e u de forma ambígua, por isso adoto x como vetor de estados):
A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-2 & -3\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
O que é pedido exatamente:
  • (a) Determinar se o par (A,B) é controlável.
  • (b) Encontrar a matriz ganho K (linha) tal que o fechamento de malha com u(t)=-Kx(t) resulte em polos em -2 e -4.]

Passo 2

Conceito e procedimento prático para testar controlabilidade (passo-a-passo didático).
Explicação do conceito: um sistema linear \dot{x}=Ax+Bu é controlável se, partindo de qualquer estado inicial, existe um sinal de controle u(t) que leva o sistema a qualquer estado desejado num tempo finito. Matematicamente, para sistemas de dimensão n verifica-se a controlabilidade calculando a matriz de controlabilidade
\mathcal{C} = \begin{bmatrix}B & AB & A^2B & \cdots & A^{n-1}B\end{bmatrix}.
O sistema é controlável se \operatorname{rank}(\mathcal{C})=n. Para n=2 basta verificar que as duas colunas B e AB são linearmente independentes (determinante não nulo).

Passo 3

Calcular \mathcal{C} no caso dado.
Primeiro calcule AB:
AB=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-2 & -3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\[4pt]-3\end{pmatrix}.
Logo a matriz de controlabilidade é
\mathcal{C}=\begin{bmatrix}B & AB\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & -3\end{bmatrix}.]

Passo 4

Verificar se \mathcal{C} tem posto 2 calculando o determinante (para 2\times2 isso é suficiente).
Calcule o determinante:
\det(\mathcal{C}) = 0\cdot(-3) - 1\cdot 1 = -1.
Como \det(\mathcal{C})=-1\neq 0, temos \operatorname{rank}(\mathcal{C})=2. Portanto o sistema é controlável.
Breve interpretação: as colunas B e AB são linearmente independentes, logo com entradas apropriadas de u(t) é possível excitar ambas as direções do espaço de estados.

Passo 5

Método para projetar K por colocação de polos (explicação didática).
Quando aplicamos realimentação de estados u=-Kx (com K sendo um vetor linha K=\begin{bmatrix}k_1 & k_2\end{bmatrix}), a dinâmica em malha fechada fica
\dot{x}=(A-BK)x.
Os polos em malha fechada são os autovalores da matriz A-BK, ou seja, as raízes do polinômio característico \det\big(sI-(A-BK)\big). O objetivo é escolher K de modo que esse polinômio seja o polinômio desejado cujas raízes são os polos exigidos. Para n=2 é prático igualar os coeficientes dos polinômios quadráticos.
Passo prático: escrevemos K=\begin{bmatrix}k_1 & k_2\end{bmatrix} e calculamos a forma de \det(sI-(A-BK)); em seguida igualamos aos coeficientes do polinômio desejado.

Passo 6

Determinar o polinômio desejado e escrever A-BK.
Polos desejados: -2 e -4. O polinômio desejado (em s) é
(s+2)(s+4)=s^2+6s+8.
Agora escrevemos A-BK. Com K=\begin{bmatrix}k_1 & k_2\end{bmatrix} temos
A-BK=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-2 & -3\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}k_1 & k_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-2-k_1 & -3-k_2\end{pmatrix}.]

Passo 7

Calcular o polinômio característico de A-BK e igualar aos coeficientes desejados.
Calcule \det\big(sI-(A-BK)\big). Primeiro
sI-(A-BK)=\begin{pmatrix}s & 0\\[4pt]0 & s\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-2-k_1 & -3-k_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}s & -1\\[4pt]2+k_1 & s+3+k_2\end{pmatrix}.
O determinante é
\det\big(sI-(A-BK)\big)=s(s+3+k_2)-(-1)(2+k_1) =s^2 + s(3+k_2) + 2 + k_1.
Igualando este polinômio ao polinômio desejado s^2+6s+8 obtemos um sistema para k_1,k_2 a partir dos coeficientes:
\begin{cases} 3+k_2 = 6,\\[4pt] 2+k_1 = 8. \end{cases}
Portanto
k_2 = 3,\qquad k_1 = 6.
Logo
K=\begin{pmatrix}6 & 3\end{pmatrix}.]

Passo 8

Verificação rápida (confirmação didática).
Substituindo em A-BK obtemos
A-BK=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-2-6 & -3-3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-8 & -6\end{pmatrix}.
O polinômio característico dessa matriz é
\det\begin{pmatrix}s & -1\\[4pt]8 & s+6\end{pmatrix}=s^2+6s+8=(s+2)(s+4),
cujo zeros são exatamente s=-2 e s=-4. Portanto a escolha de K está correta.]

Resposta

a) O sistema é controlável (posto da matriz de controlabilidade =2).
b) K=\begin{pmatrix}6 & 3\end{pmatrix}.

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