Obter uma parametrização:
da parte da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2} que está acima do plano z=r / 2.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede: obter uma parametrização da parte da superfície definida por x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2} que está acima do plano z=\dfrac{r}{2}.
  • Informações dadas:
    • A superfície é a esfera de raio r.
    • Estamos interessados apenas na porção com z\ge \dfrac{r}{2} (a “tampa” da esfera acima desse plano).
  • Objetivo final: apresentar uma função de dois parâmetros que percorra exatamente essa parte da esfera, com os intervalos apropriados dos parâmetros.

Passo 2

Escolhendo coordenadas naturais para a esfera (sem mistérios): coordenadas esféricas.
Explicação didática das coordenadas esféricas usadas aqui (muito usadas em provas):
  • Usa-se dois ângulos: \theta (azimute) e \varphi (colatitude ou polar).
  • \theta é o ângulo no plano xy, variando em torno do eixo z (mesmo que em coordenadas polares: 0\le\theta<2\pi).
  • \varphi é o ângulo contado a partir do eixo +z (ou seja, \varphi=0 aponta para o polo norte, \varphi=\pi para polo sul).
  • Para uma esfera de raio r os pontos são dados pelas fórmulas:
x = r\sin\varphi\cos\theta,
y = r\sin\varphi\sin\theta,
z = r\cos\varphi.
Aqui \theta e \varphi são os parâmetros que queremos usar.

Passo 3

Impondo a condição z\ge \dfrac{r}{2} nas coordenadas esféricas e encontrando o intervalo de \varphi.
  • Usamos a expressão de z em coordenadas esféricas:
z = r\cos\varphi.
  • A condição z\ge \dfrac{r}{2} fica:
r\cos\varphi \ge \dfrac{r}{2}.
  • Como r>0, podemos dividir por r:
\cos\varphi \ge \dfrac{1}{2}.
  • A função \cos\varphi é decrescente em [0,\pi], e \cos\varphi=\dfrac{1}{2} ocorre em \varphi=\dfrac{\pi}{3}. Portanto a desigualdade implica
0 \le \varphi \le \dfrac{\pi}{3}.
  • Para \theta mantemos o círculo completo ao redor do eixo z:
0 \le \theta < 2\pi.

Passo 4

Escrevendo a parametrização final (passo a passo, bem explícito).
  • Tomamos os parâmetros \theta e \varphi com os intervalos:
0 \le \theta < 2\pi,\qquad 0 \le \varphi \le \dfrac{\pi}{3}.
  • A parametrização é a função \mathbf{r}(\theta,\varphi) dada por:
\mathbf{r}(\theta,\varphi)=\bigl(r\sin\varphi\cos\theta,\; r\sin\varphi\sin\theta,\; r\cos\varphi\bigr).
  • Observação geométrica útil (ajuda a entender a região): a fronteira da porção (interseção da esfera com o plano z=\dfrac{r}{2}) é um círculo de raio
r_{\text{círculo}} = r\sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=r\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}.í
Esse círculo corresponde a \varphi=\dfrac{\pi}{3} e \theta variando de 0 a 2\pi.

Passo 5

Comentário prático para a prova (como usar isso rapidamente):
  • Se a prova pedir parametrização da “tampa” da esfera acima de z=z_0, repetir o mesmo raciocínio: resolver r\cos\varphi\ge z_0 para \varphi.
  • Aqui foi simples porque z_0=\dfrac{r}{2} deu \varphi\le \dfrac{\pi}{3} (ângulo comum).
  • Se quiser outra parametrização equivalente, pode projetar no plano xy e usar coordenadas polares (\rho,\theta) com 0\le\rho\le r\sqrt{1-(z_0/r)^2}, 0\le\theta<2\pi, e então tomar z=\sqrt{r^{2}-\rho^{2}}.

Resposta

\mathbf{r}(\theta,\varphi)=\bigl(r\sin\varphi\cos\theta,\; r\sin\varphi\sin\theta,\; r\cos\varphi\bigr), \qquad 0\le\theta<2\pi,\quad 0\le\varphi\le\dfrac{\pi}{3}.

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