Obter uma parametrização:
da parte da esfera
que está acima do plano
.
da parte da esfera
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede: obter uma parametrização da parte da superfície definida por
que está acima do plano . - Informações dadas:
- A superfície é a esfera de raio
. - Estamos interessados apenas na porção com
(a “tampa” da esfera acima desse plano).
- A superfície é a esfera de raio
- Objetivo final: apresentar uma função de dois parâmetros que percorra exatamente essa parte da esfera, com os intervalos apropriados dos parâmetros.
Passo 2
Escolhendo coordenadas naturais para a esfera (sem mistérios): coordenadas esféricas.
Explicação didática das coordenadas esféricas usadas aqui (muito usadas em provas):
- Usa-se dois ângulos:
(azimute) e (colatitude ou polar). -
é o ângulo no plano , variando em torno do eixo (mesmo que em coordenadas polares: ). -
é o ângulo contado a partir do eixo (ou seja, aponta para o polo norte, para polo sul). - Para uma esfera de raio
os pontos são dados pelas fórmulas:
Aqui
e
são os parâmetros que queremos usar.
Passo 3
Impondo a condição
nas coordenadas esféricas e encontrando o intervalo de
.
- Usamos a expressão de
em coordenadas esféricas:
- A condição
fica:
- Como
, podemos dividir por :
- A função
é decrescente em , e ocorre em . Portanto a desigualdade implica
- Para
mantemos o círculo completo ao redor do eixo :
Passo 4
Escrevendo a parametrização final (passo a passo, bem explícito).
- Tomamos os parâmetros
e com os intervalos:
- A parametrização é a função
dada por:
- Observação geométrica útil (ajuda a entender a região): a fronteira da porção (interseção da esfera com o plano
) é um círculo de raio
Esse círculo corresponde a
e
variando de
a
.
Passo 5
Comentário prático para a prova (como usar isso rapidamente):
- Se a prova pedir parametrização da “tampa” da esfera acima de
, repetir o mesmo raciocínio: resolver para . - Aqui foi simples porque
deu (ângulo comum). - Se quiser outra parametrização equivalente, pode projetar no plano
e usar coordenadas polares com , , e então tomar .