Obter a representação em espaço de estados da seguinte função de transferência pulsada na forma canônica controlável.
Y(z)U(z)=z^-1+2 z^-21+4 z^-1+3 z^-2

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar a representação em espaço de estados, na forma canônica controlável, de uma função de transferência discreta em Y(z)U(z) =z^-1 + 2,z^-21 + 4,z^-1 + 3,z^-2 :
Isso envolve transformada- , diferença finita, e a fórmula padrão de forma canônica controlável. Vamos precisar extrair os coeficientes do numerador e do denominador, montar a matriz , o vetor , o vetor e o escalar .

Passo 2

Primeiro, identificamos os coeficientes escrevendo
G(z);=;b1,z^-1+b2,z^-21 + a1,z^-1 + a2,z^-2,
onde, pelo enunciado,
a1 = 4, a2 = 3, b1 = 1, b2 = 2
Para visualizar melhor, multiplica-se numerador e denominador por Y(z)U(z) =z + 2z^2 + 4,z + 3 , obtendo
Isso confirma que o numerador em é e o denominador é .

Passo 3

Na forma canônica controlável de ordem 2, a matriz A = -a1 & -a2[6pt] 1 & 0 = -4 & -3 1 & 0 , B = 10 e o vetor são dados por
[
A =

,
\qquad
B = .
]
Essa construção vem da diferença de estado
, com os sinais “-” dos coeficientes do denominador.

Passo 4

O vetor C = 1 & 2, D = 0 e o escalar Y(z)=C,(zI - A)^-1B;U(z)+D,U(z), vêm dos coeficientes do numerador. No nosso caso, como o numerador em é , a gente escolhe
Isso garante que, ao calcular
a gente recupere exatamente .

Resposta

A representação em espaço de estados, forma canônica controlável, é
boxed x[k+1] &= -4 & -3 1 & 0 x[k] ;+; 10 u[k],[4pt] y[k] &= 1 & 2 x[k] ;+; 0cdot u[k]

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