Seja a equação de estados discreta
& x(k+1)=G x(k)+H u(k) & y(k)=C x(k)+D u(k)
onde
G=[cc 0 & 1 -0.03 & 0.4 ], H=[l 0 1 ], C=[ll 1 & 0 ] e D=0
Achar sua função de transferência pulsada.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício pede. A gente tem um sistema em espaço de estados discreto
x(k+1)=G,x(k)+H,u(k), y(k)=C,x(k)+D,u(k),
com
G=0&1-0.03&0.4, H=01, C=1&0, D=0
O que a gente quer é a função de transferência pulsada . Isso cai em Transformada Z e manipulação de matrizes. Para resolver, vamos precisar de:
  1. A fórmula geral de espaço de estados pra transfer-function discreta:
    .
  2. Saber calcular em 2×2.
  3. Fazer a multiplicação de matrizes resultante.

Passo 2

Aplicando a fórmula geral
Y(z)U(z) ;=; G(z) ;=; C,(zI-G)^-1H + D
Aqui é a identidade 2×2, e é a variável da Transformada Z. Como , basta achar e multiplicar por , depois por .

Passo 3

Primeiro escrevemos
zI - G =z&00&z -0&1-0.03&0.4 =z&-10.03&z-0.4
O determinante dessa 2×2 é
det(zI-G) = z,(z-0.4) - (-1),(0.03) = z^2 -0.4z +0.03
A inversa de uma matriz 2×2 a&bc&d é d&-b-c&a.
Então
(zI-G)^-1 =1z^2-0.4z+0.03 ,z-0.4 & 1 -0.03 & z

Passo 4

Agora multiplicamos (zI-G)^-1H =1z^2-0.4z+0.03 z-0.4&1-0.03&z 01 =1z^2-0.4z+0.03 1z por G(z)=C,(zI-G)^-1H + D =[1;0]1zz^2-0.4z+0.03+0 =1z^2-0.4z+0.03 :
Por fim, multiplicamos por e somamos :

Resposta

boxedY(z)U(z) ;=; 1,z^2 ;-;0.4,z;+;0.03,

Exercícios relacionados