Questão 08: Determine a posição dos polos do sistema de segunda ordem que satisfaçam as seguintes especificações de desempenho:
  • Sobressinal máximo: 10 %; tempo de acomodação: 5 segundos;

Passo 1

Beleza, vamos lá!
O enunciado pede para a gente encontrar onde ficam os polos de um sistema de segunda ordem que tenham:
  • Sobressinal máximo (Mp) de 10%
  • Tempo de acomodação (Ts) de 5 s
Matéria envolvida: resposta de sistemas de controle de segunda ordem.
O que vamos usar:
  1. Fórmula do sobressinal máximo Mp = e^-zeta piraiz1-zeta^2
  2. Fórmula do tempo de acomodação (critério de 2%) Ts approx 4zeta ,omegan
  3. Relação dos polos de um sistema subamortecido s1,2 = -zetaomegan pm j,omeganraiz1-zeta^2
A partir do Passo 2 calculamos o fator de amortecimento ζ, depois em 3 a pulsação natural ω_n, e no 4 montamos os polos.

Passo 2

Calcular ζ a partir de 0,10 = e^-zeta piraiz1-zeta^2 .
A fórmula do sobressinal é
ln(0,10) = -zeta piraiz1-zeta^2
Tomando logaritmo natural dos dois lados:
zeta = -ln(0,10)raizpi^2 + [ln(0,10)]^2 = 2,3026raiz9,8696 + 5,3018 approx 0,591
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Passo 3

Agora usamos o tempo de acomodação Ts approx 4zeta,omegan ;Longrightarrow; zeta,omegan = 45 = 0,8 s e
omegan = 0,80,591 approx 1,354 ;rad/s
Como já sabemos ,

Passo 4

Finalmente, os polos subamortecidos são
s1,2 = -zetaomegan pm j,omeganraiz1-zeta^2
Substituindo valores:
-zetaomegan = -0,591 times 1,354 approx -0,80,
omeganraiz1-zeta^2 = 1,354,raiz1 - 0,591^2 approx 1,094
Então
s1,2 = -0,80 pm j,1,094

Resposta

Os polos que satisfazem boxeds1,2 = -0,80 pm j,1,094 e s são

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