Obter a representação em espaço de estados da seguinte função de transferência pulsada na forma canônica diagonal.
Passo 1
Beleza, o que a gente tem aqui é uma função de transferência discreta
O conteúdo é “representação em espaço de estados” na forma canônica diagonal.
Pra resolver a gente vai precisar de:
- Fazer divisão polinomial pra separar termo direto (feedthrough);
- Encontrar as raízes do denominador (os polos);
- Fazer decomposição em frações parciais;
- Montar as equações de estado (diferença) de cada polo;
- Juntar tudo nas matrizes
Passo 2
Primeiro, a gente separa a parte “direta” (ou termo
)
fazendo divisão polinomial entre numerador e denominador em potências de .
fazendo divisão polinomial entre numerador e denominador em potências de
Numerador:
Denominador:
Denominador:
Dividindo “1 + 6z⁻¹ + 8z⁻²” por “1 + 4z⁻¹ + 3z⁻²” dá quociente 1 e resto
Então
O “1” ali é o nosso
.
Passo 3
Agora vamos achar os polos, fatorando o denominador:
Então os polos são
e
.
Passo 4
A gente transforma o resto num forma de frações parciais.
Multiplicando numerador e denominador por :
Multiplicando numerador e denominador por
Fazendo frações parciais:
onde
Então
E cada
vira no domínio
, gerando um subsistema de primeira ordem.
Passo 5
Definimos dois estados
e
associados a cada polo:
Para
, temos
Para
, temos
E como
, no tempo discreto:
Passo 6
Agora escrevemos tudo em notação matricial
:
Equação de estado
Equação de saída
Resposta
A forma de espaço de estados canônica diagonal é dada por