Obter a representação em espaço de estados da seguinte função de transferência pulsada na forma canônica diagonal.
Y(z)U(z)=1+6 z^-1+8 z^-21+4 z^-1+3 z^-2

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é uma função de transferência discreta
Y(z)U(z) ;=;1 + 6,z^-1 + 8,z^-21 + 4,z^-1 + 3,z^-2
O conteúdo é “representação em espaço de estados” na forma canônica diagonal.
Pra resolver a gente vai precisar de:
- Fazer divisão polinomial pra separar termo direto (feedthrough);
- Encontrar as raízes do denominador (os polos);
- Fazer decomposição em frações parciais;
- Montar as equações de estado (diferença) de cada polo;
- Juntar tudo nas matrizes , , , .

Passo 2

Primeiro, a gente separa a parte “direta” (ou termo (1+6z^-1+8z^-2) - 1cdot(1+4z^-1+3z^-2) =2z^-1 + 5z^-2 )
fazendo divisão polinomial entre numerador e denominador em potências de Y(z)U(z) =1 ;+;2z^-1 + 5z^-21 + 4z^-1 + 3z^-2 .
Numerador:
Denominador:
Dividindo “1 + 6z⁻¹ + 8z⁻²” por “1 + 4z⁻¹ + 3z⁻²” dá quociente 1 e resto
Então
O “1” ali é o nosso .

Passo 3

Agora vamos achar os polos, fatorando o denominador:
1 + 4z^-1 + 3z^-2 Long<=ftrightarrow z^2 + 4z + 3 = (z+1)(z+3)
Então os polos são e .

Passo 4

A gente transforma o resto num forma de frações parciais.
Multiplicando numerador e denominador por 2z^-1 + 5z^-21 + 4z^-1 + 3z^-2 =2z + 5z^2 +4z+3 =2z+5(z+1)(z+3) :
2z+5(z+1)(z+3) =Az+1 + Bz+3,
Fazendo frações parciais:
2z+5 = A(z+3)+B(z+1) ;Longrightarrow; A + B = 2, 3A + B = 5 ;Rightarrow;A=1,5,;B=0,5
onde
Y(z)U(z) = 1 ;+; 1.5,z+1, ;+;0.5,z+3,
Então
E cada vira no domínio
, gerando um subsistema de primeira ordem.

Passo 5

Definimos dois estados xi1(k) = -1;xi1(k-1);+;1.5;u(k-1) e xi2(k) = -3;xi2(k-1);+;0.5;u(k-1) associados a cada polo:
Para y(k) = u(k) + xi1(k) + xi2(k) , temos
Para , temos
E como , no tempo discreto:

Passo 6

Agora escrevemos tudo em notação matricial x(k) ;=; -1 & 0 [6pt] 0 & -3 ,x(k-1) ;+; 1.5 [4pt] 0.5 ,u(k-1) :
Equação de estado
y(k) ;=; 1 & 1 ,x(k) ;+; 1;,u(k)
Equação de saída

Resposta

A forma de espaço de estados canônica diagonal é dada por
A = -1 & 00 & -3, B = 1.50.5, C = 1 & 1, D = 1

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