Obter uma representação em espaço de estados do sistema descrito pela equação:
Passo 1
Beleza, olha só o que o exercício pede. A gente tem um sistema discreto descrito pela equação de diferenças
O objetivo é transformar isso numa forma “espaço de estados”, ou seja, achar matrizes
,
,
(e, se precisar,
) tais que
Conteúdo envolvido: transformada Z, forma canônica controlável (companion form) e conceitos básicos de estado. A gente vai precisar reescrever a equação em termos de
, extrair a função de transferência e, daí, montar a forma controlável.
Passo 2
Primeiro passo prático: pega a equação de diferenças e aplica Z-transformada. Lembra que
,
,
,
e o mesmo pra . Então, em Z:
e o mesmo pra
Passo 3
A função de transferência
é
Repara que o numerador é de grau 1 e o denominador de grau 2, então está “bem comportado” para a forma canônica.
Passo 4
Agora a ideia da forma controlável (companion form): se
com
, a gente monta
E a saída
é uma combinação linear dos estados:
Isso garante que a TF resultante
seja exatamente
.
Passo 5
Escrevendo tudo em notação de espaço de estados, definimos o vetor de estado
Então o sistema vira
Resposta
A representação em espaço de estados na forma canônica controlável é