Obter uma representação em espaço de estados do sistema descrito pela equação:
y(k+2)+y(k+1)+0.16 y(k)=u(k+1)+2 u(k)

Passo 1

Beleza, olha só o que o exercício pede. A gente tem um sistema discreto descrito pela equação de diferenças
y(k+2) + y(k+1) + 0.16,y(k) ;=; u(k+1) + 2,u(k),
O objetivo é transformar isso numa forma “espaço de estados”, ou seja, achar matrizes x(k+1) = A,x(k) + B,u(k), y(k) = C,x(k) + D,u(k) , , (e, se precisar, ) tais que
Conteúdo envolvido: transformada Z, forma canônica controlável (companion form) e conceitos básicos de estado. A gente vai precisar reescrever a equação em termos de , extrair a função de transferência e, daí, montar a forma controlável.

Passo 2

Primeiro passo prático: pega a equação de diferenças e aplica Z-transformada. Lembra que
z^2Y(z) + zY(z) + 0.16,Y(z) ;=; z,U(z) + 2,U(z) ;Longrightarrow; Y(z)l(z^2+z+0.16r) = U(z)l(z+2r) ,
,
,
e o mesmo pra . Então, em Z:

Passo 3

A função de transferência H(z);=;Y(z)U(z) ;=;z+2,z^2+z+0.16, é
Repara que o numerador é de grau 1 e o denominador de grau 2, então está “bem comportado” para a forma canônica.

Passo 4

Agora a ideia da forma controlável (companion form): se
H(z)=b1,z+b0z^2 + a1,z + a0
com A = -a1 & -a0 [6pt] 1 & 0 = -1 & -0.16 [4pt] 1 & 0 , B = 1 [3pt] 0 , a gente monta
C = b1 & b0 = 1 & 2 , D = 0
E a saída é uma combinação linear dos estados:
Isso garante que a TF resultante seja exatamente .

Passo 5

Escrevendo tudo em notação de espaço de estados, definimos o vetor de estado
x(k)= x1(k) x2(k) onde x1(k)=y(k),;x2(k)=y(k+1)
Então o sistema vira
x(k+1) = -1 & -0.16[4pt] 1 & hphantom-0 x(k) ;+; 10 u(k), [8pt] y(k) = 1 & 2 x(k)

Resposta

A representação em espaço de estados na forma canônica controlável é
A = -1 & -0.16 [4pt] 1 & 0 , B = 1 [2pt] 0 , C = 1 & 2 , D = 0

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