Seja o sistema em espaço de estados contínuo dado por:
[l dotx1 dotx2 ]=[cc 0 & 1 -2 & -3 ][l x1 x2 ]+[l 0 1 ] u y=[ll 1 & 0 ][l x1 x2 ]
Obter sua representação em espaço de estados discreta no tempo, para um período de amostragem T=1 s.

Passo 1

Tranquilo, a ideia aqui é pegar o sistema contínuo
dot x = A,x + B,u, y = C,x
com
A=0&1-2&-3, B=01, C=1&0,
e achar a versão discreta (amostragem s).
O que vamos usar:
  1. matriz exponencial ;
  2. integral matricial .

Passo 2

Calcular V=1&1-1&-2, Lambda=-1&00&-2, V^-1=2&1-1&-1 .
  1. Achar autovalores de e^A = V,e^Lambda,V^-1 = Ve^-1&00&e^-2V^-1 = 2e^-1-e^-2 & e^-1-e^-2 -2e^-1+2e^-2 & -e^-1+2e^-2 : resolvendo , vem , .
  2. Diagonalizar , com
  1. Então

Passo 3

Calcular
G = integral0^1 e^AtauB,dtau
Da forma de e^-tau-e^-2tau -,e^-tau+2,e^-2tau (mesma ideia do passo 2, só que com G1 &= integral0^1 (e^-tau-e^-2tau),dtau = l[-e^-tau+tfrac12e^-2taur]0^1 = tfrac12 - e^-1 + tfrac12e^-2, G2 &= integral0^1 (-e^-tau+2e^-2tau),dtau = l[e^-tau-e^-2taur]0^1 = e^-1-e^-2 e ), a coluna que multiplica é a segunda coluna de , que vale
Integramos de 0 a 1 em cada entrada:

Resposta

O sistema discreto ( x[k+1] = F,x[k] + G,u[k], y[k] = C,x[k], inteiro) com F = 2e^-1-e^-2 & e^-1-e^-2 -2e^-1+2e^-2 & -e^-1+2e^-2 , G = tfrac12 - e^-1 + tfrac12e^-2 e^-1-e^-2 , C = 1&0, D = [,0,] s fica:
onde

Exercícios relacionados