Considerando a equação de estado discreta no tempo
[l x1(k+1) x2(k+1) ]=[cc 0 & 1 -0.24 & -1 ][l x1(k) x2(k) ]
Obter a matriz de transição de estado Psi(k).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um sistema discreto no tempo
x1(k+1)x2(k+1) = A, x1(k)x2(k), A=0&1-0.24&-1,
e a gente quer a matriz de transição de estado .
Matéria: sistemas em espaço de estados discretos.
O que vamos usar: definição de e técnica de diagonalização (achar autovalores e autovetores) para calcular .

Passo 2

Antes de mais nada, a definição-chave:
Para um sistema Psi(k);=;A^k , a matriz que leva a é
Ou seja, nosso problema é achar explicitamente .

Passo 3

Vamos diagonalizar det(A-lambda I) =det-lambda&1-0.24&-1-lambda =lambda^2+lambda+0.24=0 . Primeiro, achamos o polinômio característico:
De
Usando Bhaskara:

Passo 4

Agora cada autovalor dá um autovetor.
Para 0.4&1-0.24&-0.6:
v1v2
leva a . Escolho .
Para :
. Escolho .

Passo 5

Formo V=1&1-0.4&-0.6, det V=-0.2, e calculo V^-1=1-0.2-0.6&-10.4&1 =3&5-2&-5 :

Passo 6

Com isso
A=Vlambda1&00&lambda2V^-1,
então
A^k =Vlambda1^k&00&lambda2^kV^-1 =lambda1^k,v^(1)(w^(1))^T;+;lambda2^k,v^(2)(w^(2))^T,
onde são as linhas de .

Resposta

A matriz de transição é
Psi(k)=A^k = 3(-0.4)^k-2(-0.6)^k & 5(-0.4)^k-5(-0.6)^k[6pt] -1.2,(-0.4)^k+1.2,(-0.6)^k & -2(-0.4)^k+3(-0.6)^k

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