Obter a solução geral da equação não homogênea.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial não homogênea
. Isso envolve cálculos de equações diferenciais de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar conhecer a solução da equação homogênea associada e encontrar uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. A solução geral dessa equação homogênea é dada por:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea
. Como o termo do lado direito é
, que já está presente na solução homogênea, vamos multiplicar por
para evitar duplicação. Então, vamos supor que:
onde
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo
e suas derivadas na equação original
:
Simplificando os termos:
Passo 5
Agora, igualando os coeficientes dos termos
e
:
Passo 6
Com os valores de
e
encontrados, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação
é:
onde
e
são constantes arbitrárias.