Obter a solução geral da equação não homogênea.
y^prime prime+y=sen x, x in(-infty, infty)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial não homogênea . Isso envolve cálculos de equações diferenciais de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar conhecer a solução da equação homogênea associada e encontrar uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: yh(x) = C1 cos x + C2 sin x . A solução geral dessa equação homogênea é dada por:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular yp(x) = x(A cos x + B sin x) para a equação não homogênea . Como o termo do lado direito é , que já está presente na solução homogênea, vamos multiplicar por para evitar duplicação. Então, vamos supor que:
onde e são constantes que vamos determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp'(x) = A cos x + B sin x + x(-A sin x + B cos x) :
yp''(x) = -2A sin x + 2B cos x + x(-A cos x - B sin x)
(-2A sin x + 2B cos x + x(-A cos x - B sin x)) + x(A cos x + B sin x) = sin x
Substituindo -2A sin x + 2B cos x = sin x e suas derivadas na equação original :
Simplificando os termos:

Passo 5

Agora, igualando os coeficientes dos termos -2A = 1 Rightarrow A = -12 e 2B = 0 Rightarrow B = 0 :

Passo 6

Com os valores de yp(x) = x(-12 cos x) = -12 x cos x e encontrados, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação y(x) = C1 cos x + C2 sin x - 12 x cos x é:
onde e são constantes arbitrárias.

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