Calcular a solução geral yh(x) da equação homogênea
y^prime prime+y=0, x in(-infty, infty)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a solução geral da equação diferencial homogênea . Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais Ordinárias. Para resolver, vamos precisar usar conhecimentos sobre soluções de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que uma equação diferencial homogênea como essa pode ter soluções que são combinações de funções trigonométricas, exponenciais ou polinomiais, dependendo dos coeficientes. Nosso caso tem coeficientes constantes e uma equação característica associada.

Passo 3

Vamos montar a equação característica. Para a equação r^2 + 1 = 0 , substituímos por e por 1, ficando:

Passo 4

Resolvemos a equação característica para encontrar os valores de r^2 = -1 r = pm raiz-1 r = pm i :
Aqui, é a unidade imaginária, onde .

Passo 5

Como as raízes são complexas e conjugadas ( y(x) = C1 cos(beta x) + C2 sin(beta x) ) com e , sabemos que as soluç��es da equação diferencial são combinações de funções seno e cosseno:

Passo 6

Substituindo y(x) = C1 cos(x) + C2 sin(x) na expressão acima, a solução geral fica:
Aqui, e são constantes arbitrárias que determinam a solução específica com base nas condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação homogênea é:
yh(x) = C1 cos(x) + C2 sin(x)

Exercícios relacionados