Calcular a solução geral
da equação homogênea
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a solução geral da equação diferencial homogênea
. Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais Ordinárias. Para resolver, vamos precisar usar conhecimentos sobre soluções de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que uma equação diferencial homogênea como essa pode ter soluções que são combinações de funções trigonométricas, exponenciais ou polinomiais, dependendo dos coeficientes. Nosso caso tem coeficientes constantes e uma equação característica associada.
Passo 3
Vamos montar a equação característica. Para a equação
, substituímos
por
e
por 1, ficando:
Passo 4
Resolvemos a equação característica para encontrar os valores de
:
Aqui,
é a unidade imaginária, onde
.
Passo 5
Como as raízes são complexas e conjugadas (
) com
e
, sabemos que as soluç��es da equação diferencial são combinações de funções seno e cosseno:
Passo 6
Substituindo
na expressão acima, a solução geral fica:
Aqui,
e
são constantes arbitrárias que determinam a solução específica com base nas condições iniciais.
Resposta
A solução geral da equação homogênea é: