Obter a solução geral u(x, y) para as EDP a seguir, que são solucionáveis como EDO. Empregar o MCI na determinação da solução particular u_{p}, inclusive analisando se há coincidência ou não entre u_{h} e u_{p}. Verificar a solução obtida.
u_{y}+u=\operatorname{sen}(x y)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação em derivada parcial
\frac{\partial u}{\partial y} + u = \sin(xy),
que, para cada x fixo, é uma EDO linear de primeira ordem em y. O conteúdo é “EDO linear com coeficientes constantes em y”, e vamos resolver escrevendo a solução geral como
u(x,y)=u_{h}(x,y)+u_{p}(x,y),
onde u_{h} vem da equação homogênea e u_{p} se obtém pelo método dos coeficientes indeterminados (MCI).

Passo 2

A parte homogênea satisfaz
\frac{\partial u_{h}}{\partial y} + u_{h} = 0.
Isso é uma EDO separável com solução
u_{h}(x,y)=C(x)\,e^{-y},
onde C(x) é uma “constante” de integração dependente de x.

Passo 3

Para achar u_{p} pelo MCI, suponho uma forma envolvendo \sin(xy) e \cos(xy):
u_{p}(x,y)=A(x)\,\sin(xy)+B(x)\,\cos(xy).
Calculo a derivada parcial em y:
\frac{\partial u_{p}}{\partial y} = A(x)\,x\cos(xy)\;-\;B(x)\,x\sin(xy).
Substituindo em \frac{\partial u}{\partial y}+u=\sin(xy) (e lembrando que aqui u_{h} desaparece), obtenho
\bigl[A\,x\cos(xy)-B\,x\sin(xy)\bigr]+\bigl[A\,\sin(xy)+B\,\cos(xy)\bigr] =\sin(xy).
Agrupando termos em \sin(xy) e \cos(xy):
\sin(xy)\bigl(A - B\,x\bigr) +\cos(xy)\bigl(A\,x + B\bigr) =\sin(xy).

Passo 4

Igualando coeficientes, vem o sistema em A\) e \(B\): \[\begin{cases} A - x\,B = 1,\\\ x\,A + B = 0. \end{cases}
Da segunda equação (B=-x,A]. Substituindo na primeira:
A - x(-xA)=A + x^{2}A = (1+x^{2})A = 1 \quad\Longrightarrow\quad A=\frac{1}{1+x^{2}},
B=-\frac{x}{1+x^{2}}.
Não há “coincidência” com u_{h}, pois u_{p} não contém fator e^{-y}.

Passo 5

A solução geral é
u(x,y)=C(x)e^{-y} +\underbrace{\frac{1}{1+x^{2}}\sin(xy) -\frac{x}{1+x^{2}}\cos(xy)}_{u_{p}(x,y)}.
Para verificar, basta derivar em y e somar u; a parte homogênea anula-se e a parte particular retorna \sin(xy), confirmando a solução.

Resposta

u(x,y)=C(x)\,e^{-y} +\frac{\sin(xy)-x\cos(xy)}{1+x^{2}},
onde C(x) é função arbitrária de x.

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