Obter as soluções gerais das EDO lineares não-homogêneas de
ordem, utilizando o MCI na geração da solução particular
. Analise se existe a coincidência entre termos de
e
e, ao fim, proceda a verificação apenas da solução particular
, justificando sua resposta. (*)
Passo 1
Estamos resolvendo a EDO não homogênea de 2ª ordem
O conteúdo envolve: (i) achar a solução geral da homogênea usando a equação característica; (ii) gerar uma solução particular
pelo Método dos Coeficientes Indeterminados (MCI); (iii) checar se há coincidência de termos entre
e
; (iv) verificar que
de fato satisfaz a EDO.
Passo 2
A parte homogênea é
A equação característica é
com raízes
Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Para a parte particular, como o termo não homogêneo é
, propomos pelo MCI
Precisamos verificar coincidência entre
e as bases de
, que são
e
. Como
e
, não há coincidência e nossa escolha é válida.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo na EDO original:
isso deve ser igual a
, logo
Passo 5
Portanto a solução particular é
A solução geral da EDO não homogênea é
Passo 6
Verificação de
: substituindo
que coincide com o lado não homogêneo. Logo
está correta.
Resposta
A solução geral é
com solução particular
.