Obter as soluções gerais das EDO lineares não-homogêneas de 2^{\text {a }} ordem, utilizando o MCI na geração da solução particular f_{p}(x). Analise se existe a coincidência entre termos de f_{h}(x) e f_{p}(x) e, ao fim, proceda a verificação apenas da solução particular f_{p}(x), justificando sua resposta. (*) y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=3 \operatorname{sen}(2 x)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial não-homogênea de 2ª ordem
y'' + 2y' + 5y = 3\sin(2x)
usando o método dos coeficientes indeterminados (MCI). Vamos precisar (i) encontrar a solução geral da homogênea y_h, (ii) propor um chute para a particular y_p, (iii) verificar se há coincidência de termos entre y_h e y_p, (iv) determinar os coeficientes de y_p e (v) verificar que a particular encontrada de fato gera o termo 3\sin(2x).
Passo 2
Para achar y_h resolvemos a equação característica associada:
O termo não-homogêneo é 3\sin(2x). Um chute padrão seria
y_p(x) = A\cos(2x) + B\sin(2x).
Para verificar coincidência, note que y_h tem fatores e^{-x}\cos(2x) e e^{-x}\sin(2x), enquanto y_p não tem fator e^{-x}. Não há conflito de termos, então não é preciso multiplicar por x.