Obter as soluções gerais das EDO lineares não-homogêneas de 2^{\text {a }} ordem, utilizando o MCI na geração da solução particular f_{p}(x). Analise se existe a coincidência entre termos de f_{h}(x) e f_{p}(x) e, ao fim, proceda a verificação apenas da solução particular f_{p}(x), justificando sua resposta. (*)
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=3 \operatorname{sen}(2 x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não-homogênea de 2ª ordem
y'' + 2y' + 5y = 3\sin(2x)
usando o método dos coeficientes indeterminados (MCI). Vamos precisar (i) encontrar a solução geral da homogênea y_h, (ii) propor um chute para a particular y_p, (iii) verificar se há coincidência de termos entre y_h e y_p, (iv) determinar os coeficientes de y_p e (v) verificar que a particular encontrada de fato gera o termo 3\sin(2x).

Passo 2

Para achar y_h resolvemos a equação característica associada:
r^2 + 2r + 5 = 0.
As raízes são
r = -1 \pm 2i.
Logo, a solução geral da parte homogênea é
y_h(x) = e^{-x}\bigl(C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x)\bigr).

Passo 3

O termo não-homogêneo é 3\sin(2x). Um chute padrão seria
y_p(x) = A\cos(2x) + B\sin(2x).
Para verificar coincidência, note que y_h tem fatores e^{-x}\cos(2x) e e^{-x}\sin(2x), enquanto y_p não tem fator e^{-x}. Não há conflito de termos, então não é preciso multiplicar por x.

Passo 4

Derivamos o palpite [y_p):
y_p'(x) = -2A\sin(2x) + 2B\cos(2x),
y_p''(x) = -4A\cos(2x) - 4B\sin(2x).
Substituindo em y''+2y'+5y:
y_p'' + 2y_p' + 5y_p = (-4A\cos2x -4B\sin2x) +2(-2A\sin2x +2B\cos2x) +5(A\cos2x +B\sin2x),
que, ao agrupar coeficientes, dá
(A + 4B)\cos(2x) + (-4A + B)\sin(2x).
Como isso deve ser igual a 3\sin(2x), igualamos coeficientes:
\begin{cases} A + 4B = 0,\\\\ -4A + B = 3. \end{cases}
Da primeira equação (A=-4B]. Substituindo na segunda:
-4(-4B) + B = 16B + B =17B = 3 \quad\Rightarrow\quad B = \tfrac{3}{17},
A = -4\cdot\tfrac{3}{17} = -\tfrac{12}{17}.
Assim,
y_p(x) = -\tfrac{12}{17}\cos(2x) + \tfrac{3}{17}\sin(2x).

Passo 5

A solução geral da equação não-homogênea é
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = e^{-x}\bigl(C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x)\bigr) -\tfrac{12}{17}\cos(2x) + \tfrac{3}{17}\sin(2x).

Passo 6

Verificação de y_p: ao substituir os valores de A e B no LHS obtém-se
(A+4B)\cos2x +(-4A+B)\sin2x = \bigl(-\tfrac{12}{17}+4\cdot\tfrac{3}{17}\bigr)\cos2x +\bigl(-4(-\tfrac{12}{17})+\tfrac{3}{17}\bigr)\sin2x = 0\cdot\cos2x + 3\sin2x,
ou seja, gera exatamente 3\sin(2x). Portanto, y_p está correta.

Resposta

y(x) = e^{-x}\bigl(C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x)\bigr) -\tfrac{12}{17}\cos(2x) + \tfrac{3}{17}\sin(2x).

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