Obter as soluções gerais das EDO de 1^a ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
v) (xy^2 + x) dx + (x^2 y - y) dy = 0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as soluções gerais de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem e depois verificar essas soluções. A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de equações exatas e, se necessário, encontrar um fator integrante. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da equação. Podemos reescrever a equação na forma padrão:
Onde:

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a equação é exata. Uma equação é exata se:
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 4

Calculando :
E calculando :

Passo 5

Como:
A equação é exata! Isso significa que existe uma função tal que:

Passo 6

Para encontrar , vamos integrar em relação a :
Aqui, é uma função de que aparece pela integração.

Passo 7

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Então:
Simplificando:

Passo 8

Integrando :
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Substituindo de volta em :
Para simplificar, podemos multiplicar por 2:
Onde é uma nova constante.

Passo 10

Finalmente, a solução geral da EDO é:

Resposta

A solução geral da EDO é:

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